Câu hỏi:

Ta có số hạng tổng quát của khai triển là:

\({{T}_{k+1}}=C_{15}^{k}\cdot {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{15-k}}\cdot {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}=C_{15}^{k}\cdot {{x}^{30-2k}}\cdot \frac{1}{{{x}^{k}}}=C_{15}^{k}\cdot {{x}^{30-3k}},\)

với \(k\in \mathbb{N},\,k\le 15.\)

Khi đó, số hạng không chứa \(x\) tương ứng với:

\(30-3k=0\)\(\Leftrightarrow k=10.\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là: \(C_{15}^{10}=3\,003.\)

Trường hợp 1:

Từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\) có \(2\) con đường, từ thành phố \(B\) đến thành phố \(C\) có \(3\) con đường, từ thành phố \(C\) đến thành phố \(D\) có \(4\) con đường: Số cách đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(D\) là: 

\(2.3.4=24\) (cách).

Trường hợp 2:

Từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\) có \(2\) con đường, từ thành phố \(B\) đến thành phố \(D\) có \(3\) con đường: Số cách đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(D\) là: \(2.3=6\) (cách).

Vậy số cách đi khác nhau từ thành phố \(A\) đến \(D\) là:

\(24+6=30\) (cách).

Ta có: \(d:3x-y+2=0\Leftrightarrow y=3x+2\).

Tâm \(I\left( a;b \right)\) nằm trên đường thẳng \(d:3x-y+2=0\).

nên \(b=3a+2\Rightarrow I\left( a;3a+2 \right)\).

Đường tròn đi qua hai điểm \(A\left( 1;3 \right)\), \(B\left( 3;5 \right)\) nên:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   IA=IB\Leftrightarrow  & I{{A}^{2}} & =I{{B}^{2}}  \\   {} & {{(1-a)}^{2}}+{{(3-(3a+2))}^{2}} & ={{(3-a)}^{2}}+{{(5-(3a+2))}^{2}}  \\   {} & {{(1-a)}^{2}}+{{(1-3a)}^{2}} & ={{(3-a)}^{2}}+{{(3-3a)}^{2}}.  \\   {} & 1-2a+{{a}^{2}}+1-6a+9{{a}^{2}} & =9-6a+{{a}^{2}}+9-18a+9{{a}^{2}}  \\   {} & 10{{a}^{2}}-8a+2 & =10{{a}^{2}}-24a+18  \\   \Leftrightarrow  & 16a & =16  \\   \Leftrightarrow  & a & =1.  \\\end{array}\)

Khi đó \(I\left( 1;5 \right)\) nên \(a+b=6\).

Số cách chọn 2 phần tử từ 10 phần tử và sắp thứ tự của 2 phần tử đó chính là số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử nên ta có số cách chọn là: \(A_{10}^{2}\).

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó là: \(8+6+10=24.\)