Câu hỏi:

(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(D\) và \(E\) là hai điểm trên cạnh \(BC\) sao cho ba cạnh\(BD = DE = EC.\) Vẽ đường trung tuyến \(AO\) của tam giác \(ABC\). Trên tia đối của tia \(OA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(OF = OA.\)

a) Chứng minh \(D\) là trọng tâm của tam giác \(BAF\); \(E\) là trọng tâm của tam giác \(CAF.\)

b) Tia \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N,\) tia \(FE\) cắt \(AC\) tại \(M.\) Chứng minh ba điểm \(M,O,N\) thẳng hàng

(0,5 điểm) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b}\). Chứng minh rằng tỉ lệ thức \(\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}.\)

(1,5 điểm) Tìm \(x,y,z\) trong các tỉ lệ thức sau:

a) \(\frac{x}{3} = \frac{{2,5}}{{1,5}};\)

b) \(\frac{x}{{15}} = \frac{y}{7}\) và \(y - x = 16;\)

c) \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\) và \(x - 2y + 3z = 38.\)

(2,0 điểm)

2.1. Để làm một công việc trong 8 giờ cần 30 công nhân. Nếu có 40 công nhân thì công việc đó hoàn thành trong mấy giờ? Biết rằng năng suất làm việc của các công nhân là như nhau.

2.2. Ba bạn An, Bình, Cầm có số kẹo tương ứng tỉ lệ với \(2;3;4\). Tính số kẹo của mỗi bạn, biết rằng Cầm nhiều hơn An \(8\) viên kẹo

(3,0 điểm)

3.1. Cho đa thức \(P\left( x \right) = 7{x^3} + 3{x^4} - {x^2} - 4{x^4} + 5{x^2} - 6{x^3} - 2{x^4} + 2017 - {x^3}\).

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Chỉ ra hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của đa thức \(P\left( x \right).\)

c) Tính các giá trị \(P\left( { - 1} \right),P\left( 0 \right),P\left( 1 \right)\).

d) Tìm đa thức \(Q\left( x \right),\) biết \(Q\left( x \right) - 3{x^4} + 2{x^2} + 17 = P\left( x \right)\).

3.2.Tính giá trị của biểu thức \(Q\left( x \right) = {x^{14}} - 10{x^{13}} + 10{x^{12}} - 10{x^{11}} + ... + 10{x^2} - 10x + 10\) với \(x = 9.\)