Câu hỏi:

Cho đường tròn tâm \(I\) nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,{\rm{ }}AC\] lần lượt tại \[F\] và \[E.\] Kẻ \[CK\] vuông góc với \[BI.\] Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(AEIF\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(\widehat {AIF} = \widehat {KIC}\) và ba điểm \[F,{\rm{ }}E,{\rm{ }}K\] thẳng hàng

1. Xét các phương trình sau:

\[\sqrt 3 {x^2} - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 1 = 0;\] \[{x^2} - 6x - 8 = 0;\] \[ - 2{x^2} - 5x - 3 = 0;\] \[ - 2{x^2} - 5x + 7 = 0.\]

a) Trong các phương trình trên, phương trình nào có nghiệm \[x = - 1.\]

b) Với các phương trình nhận \[x = - 1\] là nghiệm, hãy tìm nghiệm còn lại của phương trình đó.

2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một mảnh vườn hình chữ nhật \(ABCD\) có chu vi và diện tích lần lượt là \(70{\rm{\;m}}\) và \(250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\) Người ta chia mảnh vườn đó thành ba khu vực: khu tiểu cảnh \(ADE,\) khu trồng hoa \(BEDF,\) khu thư giãn \(BCF\) với \(BE = DF = 6{\rm{\;m}}\) như mô tả ở hình bên.

Cho hàm số \(y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}\) với \(m\) là tham số.

a) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\).

b) Điểm \(B\left( {1;3} \right);C\left( { - 1;2} \right)\) có thuộc đồ hàm số vừa tìm được hay không?

c) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), biết \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.\).

d) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị \(m\) vừa tìm được ở phần a), b) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\) (1) với \(m\) là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 3.\)

b) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm.

c) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) sao cho:

\(A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất