Câu hỏi:

⦁ Tứ giác \(AHKC\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm \(I\) của mỗi đường nên là hình bình hành nên \(\widehat {HKC} = \widehat {HAC}\). Do đó ý a) sai.

⦁ Xét tứ giác \(AMHN\) có \(\widehat {AMH} = \widehat {MAN} = \widehat {ANH} = {\rm{90^\circ }}\)

Do đó tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật. Do đó ý b) đúng.

⦁ Khi đó \(OA = ON = OM = OH\) nên \(\Delta OMH\) cân tại \(O.\)

Suy ra \(\widehat {OMH} = \widehat {OHM}\) mà \(\widehat {HKC} = \widehat {OHM}\) (so le trong) nên \(\widehat {HKC} = \widehat {OMH}\).

Mặt khác \(\widehat {HKC} = \widehat {HAC}\) (chứng minh ý a) nên \(\widehat {OMH} = \widehat {HKC}\).

Hình thang \(MNCK\) có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân. Do đó ý c) sai.

⦁ Vì \(\Delta AHC\) có hai đường trung tuyến \(AI,\,\,CO\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trọng tâm nên

\(AD = \frac{2}{3}AI\) mà \(AI = \frac{1}{2}AK.\)

Thay vào ta được \(AD = \frac{2}{3} .\frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\) nên \(AK = 3AD\). Do đó ý d) sai.

Ta có \(V = {\left( {2x - 1} \right)^3} - 2\left( {x - 2} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 7} \right) - 15\)

\( = 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - \left( {2x - 4} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 7} \right) - 15\)

\( = 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 8{x^3} - 16{x^2} + 4{x^2} - 8x - 14x + 28 - 15\)

\( = \left( {8{x^3} - 8{x^3}} \right) + \left( {4{x^2} - 16{x^2} - 12{x^2}} \right) + \left( {6x - 8x - 14x} \right) + \left( {28 - 15 - 1} \right)\)\( = 12.\)

Vậy \(V = 12.\)

Với \(x \ne 0\,;\,\,x \ne - 1\,;\,\,x \ne \frac{1}{2},\) ta có:

\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2 .3x - 3 .3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x .\left( {x + 1} \right)}} .\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}} .\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}} .\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right) .\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right) .\left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x .2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}\).

Vậy với \(x \ne 0\,;\,\,x \ne - 1\,;\,\,x \ne \frac{1}{2},\) sau khi rút gọn biểu thức \(D\) ta được phân thức có mẫu thức bằng 3.

Diện tích miếng bìa cần để bọc xung quanh chậu cây là:

\(\frac{{4 \cdot 3}}{2} \cdot 6 = 36{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Vậy diện tích miếng bìa cần để làm chậu cây hình chóp tam giác đều là \(36\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

Ta có \(\widehat A + \widehat B = 360^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 220^\circ \).

Mà \(\widehat A - \widehat B = 10^\circ \) nên \(\widehat A = \frac{{220^\circ + 10^\circ }}{2} = 115^\circ \,;\,\,\widehat B = 220^\circ - 115^\circ = 105^\circ .\)

Do đó \(\widehat A + 2\widehat B = 115^\circ + 2 \cdot 105^\circ = 325^\circ .\)

Vậy \(\widehat A + 2\widehat B = 325^\circ .\)