Câu hỏi:

⦁ Ta có \(A = 2xy\left( {x{y^2} - 3{x^2}y + 1} \right)\)

\( = 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy\).

Đa thức \(A\) có bậc là 5. Do đó ý a) đúng.

⦁ Ta có \(B = \left( {12{x^4}{y^5} - 36{x^5}{y^4} + 6{x^3}{y^3}} \right):6{x^2}{y^2}\)

\( = 12{x^4}{y^5}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right) - 36{x^5}{y^4}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right) + 6{x^3}{y^3}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right)\)

\( = 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + xy\).

Khi đó, hệ số tự do của đa thức \(B\) là 0. Do đó ý b) sai.

⦁ Thay \(x = - 1\,;\,\,y = 1\) vào biểu thức \(B\), ta có:

\(B = 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {1^3} - 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^3} \cdot {1^2} + \left( { - 1} \right) \cdot 1 = 2 + 6 - 1 = 7\).

Vậy với \(x = - 1\,;\,\,y = 1\) thì \(B = 7\). Do đó ý c) sai.

⦁ Ta có \(A = M + B\). Suy ra \(M = A - B\)

\( = 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy - \left( {2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + xy} \right)\)

\( = 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy - 2{x^2}{y^3} + 6{x^3}{y^2} - xy\)

\( = \left( {2{x^2}{y^3} - 2{x^2}{y^3}} \right) + \left( { - 6{x^3}{y^2} + 6{x^3}{y^2}} \right) + \left( {2xy - xy} \right)\)\( = xy.\)

Như vậy, \(M\) là một đơn thức. Do đó ý d) đúng.

⦁ Tứ giác \(AHKC\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm \(I\) của mỗi đường nên là hình bình hành nên \(\widehat {HKC} = \widehat {HAC}\). Do đó ý a) sai.

⦁ Xét tứ giác \(AMHN\) có \(\widehat {AMH} = \widehat {MAN} = \widehat {ANH} = {\rm{90^\circ }}\)

Do đó tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật. Do đó ý b) đúng.

⦁ Khi đó \(OA = ON = OM = OH\) nên \(\Delta OMH\) cân tại \(O.\)

Suy ra \(\widehat {OMH} = \widehat {OHM}\) mà \(\widehat {HKC} = \widehat {OHM}\) (so le trong) nên \(\widehat {HKC} = \widehat {OMH}\).

Mặt khác \(\widehat {HKC} = \widehat {HAC}\) (chứng minh ý a) nên \(\widehat {OMH} = \widehat {HKC}\).

Hình thang \(MNCK\) có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân. Do đó ý c) sai.

⦁ Vì \(\Delta AHC\) có hai đường trung tuyến \(AI,\,\,CO\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trọng tâm nên

\(AD = \frac{2}{3}AI\) mà \(AI = \frac{1}{2}AK.\)

Thay vào ta được \(AD = \frac{2}{3} .\frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\) nên \(AK = 3AD\). Do đó ý d) sai.

Ta có \(V = {\left( {2x - 1} \right)^3} - 2\left( {x - 2} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 7} \right) - 15\)

\( = 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - \left( {2x - 4} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 7} \right) - 15\)

\( = 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 8{x^3} - 16{x^2} + 4{x^2} - 8x - 14x + 28 - 15\)

\( = \left( {8{x^3} - 8{x^3}} \right) + \left( {4{x^2} - 16{x^2} - 12{x^2}} \right) + \left( {6x - 8x - 14x} \right) + \left( {28 - 15 - 1} \right)\)\( = 12.\)

Vậy \(V = 12.\)

Với \(x \ne 0\,;\,\,x \ne - 1\,;\,\,x \ne \frac{1}{2},\) ta có:

\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2 .3x - 3 .3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x .\left( {x + 1} \right)}} .\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}} .\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}} .\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right) .\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right) .\left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x .2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}\).

Vậy với \(x \ne 0\,;\,\,x \ne - 1\,;\,\,x \ne \frac{1}{2},\) sau khi rút gọn biểu thức \(D\) ta được phân thức có mẫu thức bằng 3.

Diện tích miếng bìa cần để bọc xung quanh chậu cây là:

\(\frac{{4 \cdot 3}}{2} \cdot 6 = 36{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Vậy diện tích miếng bìa cần để làm chậu cây hình chóp tam giác đều là \(36\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).