Câu hỏi:

Do \(M\in \text{Oy}\Rightarrow M=\left( 0;y \right)\).

Ta có \(\overrightarrow{MA}=\left( -4;1-y \right)\),\(\overrightarrow{MB}=\left( 5;4-y \right)\),\(\overrightarrow{MC}=\left( -7;-y \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left( 6;9-3y\right)\), \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left( -2;4-2y \right)\).

Ta có:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   P &=2|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|+3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|  \\   {} & =2\sqrt{{{6}^{2}}+{{(9-3y)}^{2}}}+3\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(4-2y)}^{2}}}  \\   {} & =6\left( \sqrt{{{2}^{2}}+{{(3-y)}^{2}}}+\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{(2-y)}^{2}}} \right)=6(ME+MF).  \\ \end{array}\]

Với \(E=\left( 2;3 \right),F=\left( -1;2 \right)\Rightarrow\overrightarrow{EF}=\left( -3;-1 \right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{EF} \right|=\sqrt{10}\).

E, F khác phía đối với trục Oy nên \(ME+MF\ge EF\Rightarrow P\ge6\sqrt{10}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(M\) là giao điểm của EF và Oy.

Suy ra \(M\left( 0;\frac{7}{3} \right)\).

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là \(6\sqrt{10}\).