Câu hỏi:

\(\text{sin}2x=-\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow \text{sin}2x=\text{sin}\frac{-\pi }{6}\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} 2x=\frac{-\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=\frac{-\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \\ \end{align} \right.,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Vì \(0<x<\pi\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{align} 0<\frac{-\pi }{12}+k\pi <\pi \\ 0<\frac{7\pi }{12}+k\pi <\pi \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} k=1 \\ k=0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=\frac{11\pi }{12} \\ x=\frac{7\pi }{12} \\ \end{align} \right.\).

Ta có bảng sau

\begin{array}{c|c|c|c|c} \text { Điểm } & {[6 ; 7)} & {[7 ; 8)} & {[8 ; 9)} & {[9 ; 10]} \\ \hline \text { Giá trị đại diện } & 6,5 & 7,5 & 8,5 & 9,5 \\ \hline \text { Số học sinh } & 8 & 7 & 10 & 5 \end{array}

a) Theo định nghĩa mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Cỡ mẫu là \(8+7+10+5=30\).

c) Điểm trung bình của các học sinh là: \(\bar{x}=\frac{6,58+7,5.7+8,5.10+9,5.5}{30}=7,9\).

d) Nhóm chứa Mốt là \(\left[ 8;9 \right)\).

Mốt của mẫu số liệu là: \({{M}_{e}}=8+\frac{10-7}{10-7+10-5}\left( 9-8 \right)=8,375\).

+ Đợt thứ nhất anh Bình tích lũy theo cấp số cộng với công sai \(d=2\) triệu đồng.

Theo đề bài ta có \(21={{u}_{1}}+9.2\Rightarrow {{u}_{1}}=3\) triệu đồng. 

+ Hết đợt thứ nhất anh Bình có tất cả \(624\) triệu đồng nên ta có

\({{S}_{n}}=624\Rightarrow 624=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right).3 \right]}{2}\)

\(\Rightarrow n=24\) tháng.

+ Theo đề Số tiền còn lại anh Bình tích góp theo cấp số nhân có công bội là \(q=2\) triệu đồng và \({{u}_{1}}=5\) triệu đồng. 

+ Số tiền cần tích lũy ở đợt hai là \(1\,259-624=635\) triệu đồng.

Từ đó ta có \(635=5.\frac{1-{{2}^{n}}}{1-2}\) \(\Rightarrow n=7\) tháng.

Tổng cộng hai đợt cần có ít nhất \(24+7=31\) tháng. 

+ Trong phương án 1: dãy số tiền lương là cấp số cộng có số hạng đầu tiên là \({{u}_{1}}=120\), công sai \({{d}_{1}}=18\) là mệnh đề đúng.

+ Trong phương án 1: \({{u}_{3}}=120+2.18=156\) triệu.

Do đó mệnh đề sai.

+ Trong phương án 1: tổng tiền lương người lao động nhận được trong ba năm là

\({{S}_{3}}=\frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{3}} \right).3}{2}=\frac{\left( 120+156 \right).3}{2}=414\) triệu.

Do đó mệnh đề đúng.

+ Trong phương án 2: Dãy số tiền lương là cấp số cộng có số hạng đầu tiên là \({{v}_{1}}=24\), công sai \({{d}_{2}}=1,8\), lương tăng theo quý. Ba năm tương ứng với \(12\) quý.Ta có \({{v}_{12}}=24+11.1,8=43,8\) triệu.

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:

\({{S}_{12}}=\frac{\left( {{v}_{1}}+{{v}_{12}} \right).12}{2}=\left( 24+43,8 \right).6=406,8\) triệu.

Ta nhận thấy \(406,8<414\).

Vậy nếu kí hợp đồng lao động trong ba năm, với mong muốn nhận được tổng số tiền lương cao nhất thì người lao động nên chọn phương án 1.

Do đó mệnh đề đúng.

Khi \(t=3\) thì \(s=8,6\text{sin}\left( 8.3+\frac{\pi }{2} \right)\approx 3,65\) (cm).

Vậy vật cách vị trí cân bằng một khoảng xấp xỉ \(3,65\) cm.