Câu hỏi:

+ \(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \text{cos}\alpha >0\) và \(\sin \alpha >0\);

+ \(\text{tan}\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\);

+ \(\sin \alpha =\sqrt{\frac{1}{{{\cot }^{2}}\alpha +1}}=\sqrt{\frac{1}{{{(\sqrt{2}+1)}^{2}}+1}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)

+ \(\cos \alpha =\sqrt{1-{{\left( \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\).

Phương án 1:

Ta có \(\left\{\begin{array}{l}M \in A B \\ N \in A C \Rightarrow M N \subset(A B C)\end{array}\right.\).

Do đó \(M N=(M N P) \cap(A B C)\).

Phương án 2:

Trong \(\left( ABC \right)\) gọi \(H=MN\cap BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{align} H\in MN\subset \left( MNP \right) \\H\in BC\subset \left( BCD \right) \end{align} \right.\Rightarrow H\in \left( MNP \right)\cap \left( BCD \right)\,\,\,(1)\)

Lại có: \(\left\{ \begin{align} P\in \left( MNP \right) \\ P\in \left( BCD \right) \end{align} \right.\Rightarrow P\in \left( MNP \right)\cap \left( BCD \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(HP=\left( MNP \right)\cap \left( BCD \right)\)

Phương án 3:

Trong \(\left( BCD \right)\) gọi \(K=HP\cap BD\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} K\in BD\subset \left( ABD \right) \\ K\in HP\subset \left( MNP \right) \end{align} \right.\Rightarrow K\in \left( MNP \right)\cap \left( ABD \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có: \(\left\{ \begin{align} M\in \left( MNP \right) \\ M\in AB\subset \left( ABD \right) \end{align} \right.\Rightarrow M\in \left( MNP \right)\cap \left( ABD \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MK\in \left( MNP \right)\cap \left( ABD \right)\).

Phương án 4:

Trong \(\left( BCD \right)\) gọi \(F=HK\cap DC\).

Trình bày tương tự như hai câu trên ta được \(NF=\left( MNP \right)\cap \left( ACD \right)\)

+ Ta có \(S\in \left( SIK \right)\cap \left( SAC \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\), gọi \(E=IK\cap AC\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}E\in IK\subset \left( SIK \right) \\E\in AC\subset \left( SAC \right) \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow E\in \left( SIK \right)\cap \left( SAC \right)\)

Suy ra \(SE=\left( SIK \right)\cap \left( SAC \right)\).

+ Ta có \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}S\in \left( SIK \right)\cap \left( SBD \right) \\BD\subset \left( SBD \right),IK\subset \left( SIK \right) \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left( SIK \right)\cap \left( SBD \right)=Sx,\left( Sx//BD//IK \right)\)

+ Trong mp \(\left( SBD \right)\), gọi \(F=Sx\cap DM\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}S\in DM \\S\in Sx\subset \left( SIK \right) \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow F=DM\cap \left( SIK \right)\).

Ta có \(SF//BD\Rightarrow \frac{MF}{MD}=\frac{MS}{MB}=1\).

Gọi \(S\) là diện tích mặt đáy. Khi đó: \({{T}_{1}}=\frac{1}{2}S\);

\({{T}_{1}}=\frac{1}{2}.S;{{T}_{2}}=\frac{1}{2}.{{T}_{1}}=\frac{1}{{{2}^{2}}}.S\)

...

\({{T}_{10}}=\frac{1}{{{2}^{10}}}.S=\frac{1}{{{2}^{10}}}.12\,288=12\).

Vậy diện tích bề mặt trên cùng của tháp bằng \(12\) \({{m}^{2}}\).

\(\sin x-\cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).