Câu hỏi:

Để xác định khẳng định đúng, ta xét từng đáp án:

Đáp án 1: Dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{n+1}}=\frac{a-1}{{{n}^{2}+1}}\).

Sai. Theo định nghĩa của dãy số, \({{u}_{n+1}}\) được tính bằng cách thay \(n\) bằng \(n+1\) vào công thức của \({{u}_{n}}\), tức là \({{u}_{n+1}}=\frac{a-1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}\), chứ không phải \(\frac{a-1}{{{n}^{2}+1}}\).

Đáp án 2: \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy số tăng.

Sai. Để xét tính tăng/giảm của dãy số, ta xét hiệu \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}\): \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{a-1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}-\frac{a-1}{{{n}^{2}}}=(a-1)\left( \frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\) \(=(a-1)\frac{{{n}^{2}}-{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=(a-1)\frac{{{n}^{2}}-({{n}^{2}}+2n+1)}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=(a-1)\frac{-2n-1}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}\)

Với mọi \(n \in N^*\), ta có \({{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}>0\) và \(-2n-1 < 0\).

Do đó, dấu của hiệu \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}\) phụ thuộc vào dấu của \((a-1)\):

Nếu \(a-1>0\), thì \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}<0\), dãy số là dãy giảm.

Nếu \(a-1<0\), thì \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}>0\), dãy số là dãy tăng.

Nếu \(a-1=0\), thì \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=0\), dãy số là dãy hằng (bằng 0).

Vì tính tăng/giảm của dãy phụ thuộc vào \(a\), nên khẳng định dãy số luôn tăng là sai.

Đáp án 3: \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm.

Sai. Trong toán học, một dãy số được gọi là "không tăng" nếu \({{u}_{n+1}} \le {{u}_{n}}\) với mọi \(n\). Một dãy số được gọi là "không giảm" nếu \({{u}_{n+1}} \ge {{u}_{n}}\) với mọi \(n\).

Nếu một dãy số vừa "không tăng" vừa "không giảm", điều đó có nghĩa là \({{u}_{n+1}} = {{u}_{n}}\) với mọi \(n\), tức là dãy số đó là một dãy số hằng.

Dãy số \({{u}_{n}}=\frac{a-1}{{{n}^{2}}}\) chỉ là dãy số hằng khi \(a-1=0 \Leftrightarrow a=1\). Khi đó \({{u}_{n}}=0\) cho mọi \(n\).

Tuy nhiên, nếu \(a \ne 1\), dãy số sẽ là dãy tăng hoặc dãy giảm (như đã phân tích ở đáp án 2). Do đó, khẳng định dãy số luôn "không tăng, không giảm" (tức là luôn hằng) là sai.

Đáp án 4: Dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{n+1}}=\frac{a-1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}\).

Đúng. Đây là cách tính số hạng thứ \(n+1\) của dãy số bằng cách thay \(n\) bằng \(n+1\) vào công thức tổng quát của \({{u}_{n}}=\frac{a-1}{{{n}^{2}}}\). Khẳng định này đúng theo định nghĩa, không phụ thuộc vào giá trị của \(a\). Vậy, khẳng định đúng là đáp án 4.

Hàm số \(y=\text{sin}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -\pi ;\,-\frac{\pi }{2} \right)\); đồng biến trên khoảng \(\left( -\frac{\pi }{2};\,0 \right)\).

Do \(\left\{ \begin{align} & AI=\frac{1}{2}IB \\ & AJ=\frac{3}{2}JD \\ \end{align} \right.\)

nên \(IJ\) kéo dài sẽ cắt \(BD\), gọi giao điểm là \(K\).

Ta có \(K=IJ\cap \left( BCD \right)\).

Ta có \(\text{cos}x=\text{sin}x\Leftrightarrow \text{tan}x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}\).

Vì \(x\in \left[ -\frac{2\pi }{3};\frac{5\pi }{3} \right]\) nên \(-\frac{2\pi }{3}\le \frac{\pi }{4}+k\pi \le \frac{5\pi }{3}\Leftrightarrow \frac{-11}{12}\le k\le \frac{17}{12}\).

Mà \(k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=\left\{ 0;1 \right\}\).

Suy ra phương trình có \(2\) nghiệm \(x=\frac{\pi }{4};\,x=\frac{5\pi }{4}\) thỏa mãn yêu cầu.

Phương án 1:

Ta có \(AB\) song song \(CD\) nên áp dụng định lí Thalès ta có

\(\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}=2\).

Phương án 2:

Ta có \(N=SB\cap \left( MCD \right)\) nên \(N\in \left( MCD \right)\cap \left( SAB \right)\)

Mặt khác ta lại có \(M\in \left( MCD \right)\cap \left( SAB \right)\)

nên \(MN=\left( MCD \right)\cap \left( SAB \right)\)

Mà \(AB\) song song \(CD\) nên \(MN\)song song \(AB\)

Kết hợp M là trung điểm SA ta nhận được N cũng là trung điểm SB do tính chất đường trung bình.

Phương án 3:

Với \(F=\left( OMN \right)\cap CD\)thì ta có \(F\in \left( OMN \right)\cap \left( ABCD \right)\)

Mà \(O\in \left( OMN \right)\cap \left( ABCD \right)\) nên \(FO=\left( OMN \right)\cap \left( ABCD \right)\)

Ta lại có \(MN\) song song \(AB\) nên \(FO\) song song \(AB\)

Áp dụng định lí Thalès ta có \(\frac{AF}{FD}=\frac{AO}{OC}=2\)

Vậy \(AF=2FD\).

Phương án 4:

Chứng minh tương tự ở phương án 3 ta cũng được \(OE\) song song \(AB\) nên \(O,\,E,\,F\) thẳng hàng và \(EF\) song song với \(AB\) và song song với \(MN\)

Áp dụng định lí Thalès ta có \(\frac{OE}{AB}=\frac{OC}{CA}=\frac{1}{3}\) nên \(OF=\frac{1}{3}AB\)

Ta cũng có \(\frac{OF}{CD}=\frac{AO}{AC}=\frac{2}{3}\) nên \(OF=\frac{2}{3}CD\)

Mà \(AB=2CD\) và \(AB=2MN\)

nên \(EF=OE+OF=\frac{1}{3}AB+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}AB=\frac{2}{3}AB=\frac{4}{3}MN\).

Vậy tứ giác \(MNEF\) là hình thang có đáy lớn \(EF=\frac{4}{3}MN\)