Câu hỏi:

\(2\sin x-5=0\Leftrightarrow \sin x=\frac{5}{2}>1\Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Chọn D.

\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Xét nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi  \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z}  - \pi  <  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi  < \pi \) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z}  - 1 <  - \frac{1}{{12}} + k < 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z}  - \frac{{11}}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right..\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{12}\)

Khi k = 1 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{12}+\pi =\frac{11\pi }{12}\)

Xét nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi  \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu}  - \pi  < \frac{\pi }{4} + k\pi  < \pi \) \(\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu}  - 1 < \frac{1}{4} + k < 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu}  - \frac{5}{4} < k < \frac{3}{4}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} \left\{ \begin{array}{l}k =  - 1\\k = 0\end{array} \right..\)

Khi k = -1 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{4}\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc \(\left( -\pi ;\pi  \right).\)

Chọn C.  

\(\begin{array}{l}\cos 2x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x =  - \cos 2x\\ \Leftrightarrow  - \sin x = \cos 2x \Leftrightarrow \sin \left( { - x} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi}{2} + x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\2x =  - \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\3x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Xét nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \in \left[ 0;2\pi  \right)\overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi <2\pi \overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le \frac{1}{2}+2k<2\Leftrightarrow -\frac{1}{4}\le k<\frac{3}{4}\overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,k=0.\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}.\)

Xét nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \in \left[ {0;2\pi } \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} 0 \le  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} < 2\pi  \Leftrightarrow 0 \le  - \frac{1}{6} + \frac{{2k}}{3} < 2\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \frac{1}{4} \le k < \frac{{13}}{4}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\\k = 3\end{array} \right.\)

Khi k = 1 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}\)

Khi k = 2 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{4\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}\)

Khi k = 3 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{6\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}\)

Vậy nghiệm của phương trình thuộc \(\left[ 0;2\pi  \right)\) là: \(\left\{ \frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6} \right\}\)

 Chọn D

\(\tan 2x+\cot 2x=0\Leftrightarrow \tan 2x+\frac{1}{\tan 2x}=0\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}2x+1=0\) (Vô nghiệm).

Chọn C.

Trong (ABCD) kéo dài MN cắt AB tại E và cắt AD tại F.

Trong (SAB) gọi \(H=QE\cap SB\)

Trong (SAD) gọi \(G=QF\cap SD.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {MNQ} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {MNQ} \right) \cap \left( {SAB} \right) = HQ\\\left( {MNQ} \right) \cap \left( {SAB} \right) = HM\\\left( {MNQ} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NG\\\left( {MNQ} \right) \cap \left( {SAD} \right) = GQ\end{array}\)

Vậy thiết diện của mặt phẳng (MNQ) và chóp là ngũ giác MNGQH.

Chọn C.