Câu hỏi:

a) Do \(ME \bot AB\) tại \(E\) nên \(\widehat {MEA} = 90^\circ \), \(MF \bot AD\) tại \(F\) nên \(\widehat {MFA} = 90^\circ .\)

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {EAF} = 90^\circ .\)

Tứ giác \(AEMF\) có \(\widehat {MFA} = \widehat {EAF} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên \(AEMF\) là hình chữ nhật.

b) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}.\)

Do đó \(\widehat {ABD} = 45^\circ \) suy ra \(\Delta BEM\) vuông cân tại \(E\) nên \(BE = ME.\)

Do \(AEMF\) là hình chữ nhật nên \(ME = AF\) nên \(BE = AF.\)

Chu vi của hình chữ nhật \(AEMF\) là: \(2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {AE + BE} \right) = 2AB.\)

Mà \(AB\) không đổi nên chu vi của hình chữ nhật \(AEMF\) không đổi.

Do đó, diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất khi \(AEMF\) là hình vuông.

Suy ra \(ME = MF.\)

Khi đó \(\Delta BEM = \Delta DFM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \(BM = DM\) hay \(M\) là trung điểm của \(BC.\,\)

Vậy với \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất.

Do \(x+y+z=0\) nên \(\left\{\begin{array}{l}x=-(y+z) \\ y=-(x+z) \\ z=-(x+y)\end{array}\right.\), suy ra \(\left\{\begin{array}{l}x^2=(y+z)^2 \\ y^2=(x+z)^2 \\ z^2=(x+y)^2\end{array}\right.\).

Do \(a+b+c=0\) nên \(\left\{\begin{array}{l}b+c=-a \\ c+a=-b \\ a+b=-c\end{array}\right.\).

Do \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\) nên \(\frac{a y z+b x z+c x y}{x y z}=0\) suy ra \(b x z+c x y+a y z=0\).

Ta có: \(a x^2+b y^2+c z^2=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(x+y)^2\)

\(\begin{aligned}& =a y^2+2 a y z+a z^2+b x^2+2 b x z+b z^2+c x^2+2 c x y+c y^2 \\& =(b+c) x^2+(a+c) y^2+(a+b) z^2+2(b x z+c x y+a y z) \\& =(b+c) x^2+(a+c) y^2+(a+b) z^2 \\& =(-a) x^2+(-b) y^2+(-c) z^2\end{aligned}\)

Do đó \(2\left(a x^2+b y^2+c z^2\right)=0\) nên \(a x^2+b y^2+c z^2=0\).

Vậy \(a x^2+b y^2+c z^2=0\).

Có 4 đơn thức \(-6 x^2 y ; 5 z^3 ;-\frac{4}{7} y z^2 .5 ;(\sqrt{2}-1) x\)

Ta có \(2{x^2}y{\left( {2{y^3}} \right)^2} = 2{x^2}y \cdot 4{y^6} = 8{x^2}{y^7}.\)

Đơn thức trên có bậc là \(2 + 7 = 9.\)

Vậy đơn thức \(2{x^2}y{\left( {2{y^3}} \right)^2}\) có bậc là 9.

Ta có \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) (bình phương của một tổng).