Câu hỏi:

a) Ta có \(G = \left( {7{x^5}{y^4}{z^3} - 3{x^4}y{z^2} + 2{x^2}{y^2}z} \right):{x^2}yz\)

\(= 7{x^5}{y^4}{z^3}:{x^2}yz - 3{x^4}y{z^2}:{x^2}yz + 2{x^2}{y^2}z:{x^2}yz\)

\( = 7{x^3}{y^3}{z^2} - 3{x^2}z + 2y\).

Đa thức \(G\) có bậc là 8. 

b) Thay \(x = 1\,;\,y = - 1\,;\,z = 1\) vào biểu thức \(G\), ta có:

\(G = 7 \cdot {1^3} \cdot {\left( { - 1} \right)^3} \cdot {1^2} - 3 \cdot {1^2} \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = - 7 - 3 - 2 = - 12.\)

Vậy với \(x = 1\,;\,\,y = - 1\,;\,\,z = 1\) thì \(G = - 12\). 

c) Ta có \(A + 14{x^3}{y^3}{z^2} - 6{x^2}z = G\) hay \(A + 14{x^3}{y^3}{z^2} - 6{x^2}z = 7{x^3}{y^3}{z^2} - 3{x^2}z + 2y\)

Suy ra \(A = - 7{x^3}{y^3}{z^2} + 3{x^2}z +2y\).

Khi đó, đa thức \(A\) hạng tử tự do là 0. 

d) Ta có \(A + G = \left( { - 7{x^3}{y^3}{z^2} + 3{x^2}z} +2y\right) + \left( {7{x^3}{y^3}{z^2} - 3{x^2}z + 2y} \right)\)

\( = - 7{x^3}{y^3}{z^2} + 3{x^2}z +2y+ 7{x^3}{y^3}{z^2} - 3{x^2}z + 2y\)

\( = \left( { - 7{x^3}{y^3}{z^2} + 7{x^3}{y^3}{z^2}} \right) + \left( {3{x^2}z - 3{x^2}z} \right) + 2y+2y\)

\( = 4y\).

Như vậy, tổng của hai đa thức \(A\) và \(G\) là một đơn thức.

a) Do \(E\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BE = \frac{1}{2}BC\) hay \(BC = 2BE.\)

Vì \(BC = 2AB\) và \(BC = 2BE\) nên \(AB = BE\). 

b) Theo đề bài, tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD = BC,\,\,AD\,{\rm{//}}\,BC\).

Vì \(AD = BC\); \(BE = \frac{1}{2}BC;\,AF = \frac{1}{2}AD\) (do \(F\) là trung điểm của \(AD)\) nên \(BE = AF\).

Tứ giác \(ABEF\) có \(BE = AF\) (cmt) và \(BE\,{\rm{//}}\,AF\) (vì \(AD\,{\rm{//}}\,BC\,).\)

Suy ra, tứ giác \(ABEF\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(ABEF\) có \(AB = BE\) nên \(ABEF\) là hình thoi.

c) Ta thấy \(BD\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của tam giác \(ADI\) nên tam giác \(ADI\) cân tại \(D\).

Tam giác \(ADI\) cân tại \(D\) có \(\widehat {DAI} = 60^\circ \) nên tam giác \(ADI\) là tam giác đều.

Suy ra \(BD\) cũng là đường cao của tam giác \(ADI\) nên \(BD \bot BI\) hay \(\widehat {DBI} = 90^\circ .\)

d) Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD,\,\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

Vì \(AB = CD\); \(AB = BI\) (do \(B\) là trung điểm của \(AI)\) nên \(BI = CD\).

Tứ giác \(BICD\) có \(BI\,{\rm{//}}\,CD\) (vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\)) và \(BI = CD\) nên tứ giác \(BICD\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(BICD\) có \(\widehat {DBI} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BICD\) là hình chữ nhật.

Khi đó, \(E\) là trung điểm của \(DI\).

Ta có tam giác \(ADI\) là tam giác đều có \(AE\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Do đó, \(AE \bot DI\) hay \(\widehat {AED} = 90^\circ \).

Ta có \( M=(x+3)^3-(x+9)\left(x^2+27\right)\)

\(\begin{aligned}& =x^3+9 x^2+27 x-27-\left(x^3+27 x+9 x^2+243\right) \\& =x^3+9 x^2+27 x+27-x^3-27 x-9 x^2-243 \\& =\left(x^3-x^3\right)+\left(9 x^2-9 x^2\right)+(27 x-27 x)-(243-27)=-216\end{aligned}\)

Vậy \(M=-216\).

Với \(x \ne - 3\,;\,x \ne 3\,;\,x \ne - 1\), ta có:

\(S = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)

\( = \frac{{x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 3x - 2x - 6 - {x^2} + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{ - 5x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.\)

Vậy với \(x \ne - 3\,;\,x \ne 3\,;\,x \ne - 1,\) sau khi rút gọn biểu thức \(S\) ta được phân thức có tử thức bằng \( - 5.\)

Thể tích của lọ nước hoa hình kim tự tháp là: \(V_1=\frac{1}{3} \cdot 5^2 \cdot 10=\frac{250}{3}\left(\mathrm{cm}^3\right)\).

Thể tích của nắp lọ nước hoa là: \(V_2=\frac{1}{3} \cdot 2,5^2 \cdot 5=\frac{125}{12}\left(\mathrm{cm}^3\right)\).

Dung tích của lọ nước hoa đó là: \(\frac{250}{3}-\frac{125}{12} \approx 73\left(\mathrm{cm}^3\right)=73(\mathrm{ml})\).

Vậy dung tích của lọ nước hoa đó là 73 ml.