Câu hỏi:

Ta có

\(\overrightarrow {DG}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AG} \)\( =  - \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\( =  - \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\)\( =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \)\( = \overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {AD} \) (với \(\overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {BC} \)).

Theo giả thiết \(DG \bot AM \Leftrightarrow \overrightarrow {DG} .\overrightarrow {AM}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( { - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {AD} } \right) = 0\).

Với \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = a.2a.{\rm{cos}}{120^ \circ } =  - {a^2}\)

\( \Rightarrow \frac{2}{3}{a^2} - \frac{{2k}}{3}{a^2} + \frac{1}{3}{(2a)^2} + \frac{k}{3}\left( { - {a^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{3} - \frac{{2k}}{3} + \frac{4}{3} - \frac{k}{3} = 0 \Leftrightarrow k = 2\).

Vậy điểm M trên BC thỏa mãn \(\overrightarrow {BM}  = 2\overrightarrow {BC} \).

Độ dài đường cũ là độ dài \(AC + BC\).

Độ dài đường mới là AB.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

\(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2} - 2AB.AC.{\rm{cos}}{{135}^ \circ }} \) (km).

Ta có \(AC + BC - AB \approx 2,76\) km.

Vậy con đường mới sẽ rút ngắn được khoảng \(2,76\) km so với con đường cũ.

• Điểm thi trung bình của học sinh là:

\(\bar x = \frac{{3.2 + 4.3 + 5.7 + 6.18 + 7.3 + 8.2 + 9.4 + 10.1}}{{40}} = 6,1\).

• Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm.

Ta thấy số học sinh là \(n = 40\) là số chẵn.

Suy ra trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 20 và 21.

Từ bảng số liệu ta có giá trị thứ 20 là 6 và giá trị thứ 21 là 6.

Vậy trung vị \({M_e} = 6\).

Ta có \(\hat C = {180^ \circ } - \hat A - \hat B = {170^ \circ }\).

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}}\).

Suy ra \(AC = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}}.{\rm{sin}}B = \frac{{762}}{{{\rm{sin}}{{170}^ \circ }}}.{\rm{sin}}{4^ \circ } \approx 306,1\) m.

\(BC = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}}.{\rm{sin}}A = \frac{{762}}{{{\rm{sin}}{{170}^ \circ }}}.{\rm{sin}}{6^ \circ } \approx 458,7\) m.

Đổi 4 km/h \( = \frac{{200}}{3}\) m/phút; 19 km/h \( = \frac{{950}}{3}\) m/phút.

Thời gian đi trên quãng đường AC là:

\({t_1} = \frac{{AC}}{{\frac{{200}}{3}}} \approx 4,59\) phút.

Thời gian đi trên quãng đường BC là:

\({t_2} = \frac{{BC}}{{\frac{{950}}{3}}} \approx 1,45\) phút.

Vậy thời gian An đi từ nhà đến trường là: \({t_1} + {t_2} \approx 6\) phút.

Theo giả thiết \(\vec x \bot \vec y \Leftrightarrow \vec x.\vec y = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\vec a + 2\vec b} \right)\left( {5\vec a - 4\vec b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 5{\vec a^2} - 4\vec a.\vec b + 10\vec a.\vec b - 8{\vec b^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 5.\left| {\vec a{|^2} - 8} \right|\vec b{|^2} + 6\vec a.\vec b = 0\)

\( \Leftrightarrow {5.1^2} - {8.1^2} + 6.\left| {\vec a\left| . \right|\vec b} \right|.{\rm{cos}}\left( {\vec a,\,\vec b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 3 + 6.1.1.{\rm{cos}}\left( {\vec a,\,\vec b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\vec a,\,\vec b} \right) = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\left( {\vec a,\,\vec b} \right) = {60^ \circ }\).