Câu hỏi:

Vì vật cân bằng nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \vec 0\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MC}  =  - \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} \)

\( \Rightarrow M{C^2} = A{M^2} + M{B^2} + 2MA.MB.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BM} } \right)\)\( = {50^2} + {50^2} + 2.50.50.{\rm{cos}}\,{60^ \circ } = 7\,500\)

\( \Rightarrow MC = 50\sqrt 3 \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 50\sqrt 3 N\).

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(BC = \frac{{AC.{\rm{sin}}\,A}}{{{\rm{sin }}B}} = \frac{{4.{\rm{sin}}\,{{60}^ \circ }}}{{{\rm{sin }}{{45}^ \circ }}} = 2\sqrt 6 \) cm.

Ta có: \({\rm{sin }}C = {180^ \circ } - {60^ \circ } - {45^ \circ } = {75^ \circ }\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S = \frac{1}{2}CA.CB.{\rm{sin}}\,C = 6 + 2\sqrt 3 c{m^2}\).

Để \(B\backslash A \ne \emptyset \) thì \(m > 5\). Khi đó \(B\backslash A = \left[ {5;m} \right)\).

Vì m nguyên dương nên m nhỏ nhất bằng 6.

Mà tổng các phần tử nguyên dương bằng không vượt quá 15 nên có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(m = 6\)

\(B\backslash A = \left[ {5;6} \right)\) có phần tử nguyên dương là 5.

Trường hợp 2: \(m = 7\)

\(B\backslash A = \left[ {5;7} \right)\) có phần tử nguyên dương là \(5;\,6\).

Trong tam giác\(DAC\), ta có:

\({\rm{cos}}\widehat {\,ACD} = \frac{{DC}}{{AC}}\), suy ra \(AC = \frac{{DC}}{{{\rm{cos}}\,A}} = \frac{{18}}{{{\rm{cos}}\,{{40}^ \circ }}} \approx 23,5\) m.

Trong tam giác \(DBC\) ta có: \({\rm{cos}}\,\widehat {BCD} = \frac{{DC}}{{BC}}\), suy ra

\(BC = \frac{{DC}}{{{\rm{cos}}\,B}} = \frac{{18}}{{{\rm{cos}}\,{{50}^ \circ }}} \approx 28\) m.

Lại có \(\widehat {ACB} = {50^ \circ } - {40^ \circ } = {10^ \circ }\), áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{AB}&{ = \sqrt {C{A^2} + C{B^2} - 2CA.CB.{\rm{cos }}\widehat {ACB}} }\\{}&{ \approx \sqrt {{{23,5}^2} + {{28}^2} - 2.23,5.28.{\rm{cos }}{{10}^\circ }}  \approx 6,34m}\end{array}\)

Vậy chiều cao của cột cờ gần bằng \(6,34\) m.