Câu hỏi:

a) Sai.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

\(A{B^2} = B{C^2} + C{A^2} - 2.BC.CA.{\rm{cos}}C\)

\( \Rightarrow A{B^2} = {8^2} + {6^2} - 2.8.6.{\rm{cos}}{60^ \circ } = 64 + 36 - 96.\frac{1}{2} = 100 - 48 = 52\).

\( \Rightarrow AB = \sqrt {52}  \approx 7,21\).

b) Sai.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}}\)

\( \Rightarrow {\rm{sin}}A = \frac{{BC.{\rm{sin}}C}}{{AB}} = \frac{{8.{\rm{sin}}{{60}^ \circ }}}{{\sqrt {52} }} \approx 0,93\)

\( \Rightarrow A \approx {68^ \circ }\) nên A là góc nhọn.

c) Đúng.

Diện tích tam giác ABC là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.CA.{\rm{sin}}C = \frac{1}{2}.8.6.{\rm{sin}}{60^ \circ } = 24.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 12\sqrt 3 \).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\(r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = \frac{{12\sqrt 3 }}{{\frac{{6 + 8 + \sqrt {52} }}{2}}} = \frac{{24\sqrt 3 }}{{14 + \sqrt {52} }} \approx 1,96\).

d) Đúng.

Diện tích tam giác ABG là:

\({S_{ABG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.12\sqrt 3  = 4\sqrt 3 \).

Để mệnh đề đúng với \(x = 1\) thì \(P\left( 1 \right):\) '' \({1^2} + 4.1 - a < 0\) '' đúng

Khi đó \(5 - a < 0\) hay \(a > 5\)

Vậy số nguyên a bé nhất là 6.

Bước 1: Tìm m để \(A \cap B = \emptyset \).

Ta có 2 trường hợp sau:

v Trường hợp 1: \(2m - 5 \le 9\).

Khi đó \(m \le 7\).

v Trường hợp 2: \(7 - m > 12\).

Khi đó \(m <  - 5\).

Vậy \(m = ( - \infty ;7{\rm{]}}\) thì \(A \cap B = \emptyset \).

Do đó các giá trị m để \(A \cap B \ne \emptyset \) là \(\left( {7; + \infty } \right)\).

Vậy các giá trị nguyên của m thuộc \(\left[ {0;\,2\,024} \right]\) để \(A \cap B \ne \emptyset \) là \(m \in \left\{ {8;9;10;...;2\,024} \right\}\).

Số các giá trị m là 2017.

Có \(\widehat {CAH} = {\alpha _1} = {30^ \circ },\,\widehat {CBH} = {\beta _1} = {70^ \circ }\).

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {CBH} - \widehat {CAH} = {40^ \circ }\).

⚡Áp dụng định lí sin vào \({\rm{\Delta }}ABC\), ta có:

\(\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}\widehat {CAH}}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {ACB}}}\).

\( \Rightarrow BC = \frac{{20.{\rm{sin}}{{30}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{40}^ \circ }}} \approx 15,56\) m.

Xét \({\rm{\Delta }}HBC\) vuông tại H, ta có:

\({\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BC}} \Rightarrow CH = BC.{\rm{sin}}\widehat {CBH} \approx 14,62\) m.

Có \(\widehat {OAH} = {\alpha _2} = {50^ \circ },\,\widehat {OBH} = {\beta _2} = {80^ \circ } \Rightarrow \widehat {AOB} = {30^ \circ }\).

⚡Áp dụng định lí sin vào \({\rm{\Delta }}ABO\), ta có:

\(\frac{{BO}}{{{\rm{sin}}\widehat {OAH}}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {AOB}}}\).

\( \Rightarrow BO = \frac{{20.{\rm{sin}}{{50}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{30}^ \circ }}} \approx 30,64\) m.

Xét \({\rm{\Delta }}HBO\) vuông tại H, ta có:

\({\rm{sin}}\widehat {OBH} = \frac{{HO}}{{BO}} \Rightarrow HO = BO.{\rm{sin}}\widehat {OBH} \approx 30,17\) m.

Vậy \(h = OC = HO - CH \approx 15,55\) m.

Gọi x là số ha đất trồng dưa lê và y là số ha đất trồng dưa vàng với \(x \ge 0,\,y \ge 0\).

Theo bài ra, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 8\\20x + 30y \le 180\\x \ge 0,{\mkern 1mu} y \ge 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\\x \ge 0,{\mkern 1mu} y \ge 0\end{array} \right.\) (*)

Tiền lãi mà bà An có được là: \(F = 30x + 40y\) (triệu đồng).

Ta có miền nghiệm của hệ (*) là:

Ta tìm được \(A\left( {0;6} \right)\), \(B\left( {6;2} \right)\), \(C\left( {8;0} \right)\), \(O\left( {0;0} \right)\).

Khi đó,

\(F\left( A \right) = 30.0 + 40.6 = 240\),

\(F\left( B \right) = 30.6 + 40.2 = 260\),

\(F\left( C \right) = 30.8 + 40.0 = 240\),

\(F\left( O \right) = 0\).

Vậy bác An có thể lãi được nhiều nhất 260 triệu đồng.