Câu hỏi:

Gọi số sản phẩm loại I cần sản xuất là x; số sản phẩm loại II cần sản xuất là y. Điều kiện: \(x,\,y\ge 0\).

Số máy nhóm A cần sử dụng là: \(2x+2y\).

Số máy nhóm B cần sử dụng là: \(2y\).

Số máy nhóm C cần sử dụng là: \(2x+4y\).

Ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x\ge 0 \\  y\ge 0 \\  2x+2y\le 10 \\  2y\le 4 \\  x+2y\le 6 \\ \end{array}  \right.\) \(\Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x\ge 0 \\  0\le y\le 2 \\  x+y\le 5 \\  x+2y\le 6 \\ \end{array} \right.\).

Vẽ các đường thẳng \(\left( {{d}_{1}} \right):y=2,\,\left( {{d}_{2}} \right):\,x+y=5,\,\left( {{d}_{3}} \right):x+2y=6\).

Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần tô màu như hình vẽ:

\(\left( {{d}_{1}} \right)\cap Oy=A\left( 0;2 \right)\); \(\left( {{d}_{1}} \right)\cap \left( {{d}_{3}} \right)=B\left( 2;2 \right)\); \(\left( {{d}_{2}} \right)\cap \left( {{d}_{3}} \right)=C\left( 4;1 \right)\)

\(\left( {{d}_{2}} \right)\cap Ox=D\left( 5;0 \right)\), \(E\equiv O=\left( 0;0 \right)\).

Lãi suất thu được là: \(f\left( x;y \right)=3x+5y\) (nghìn đồng).

Do đó f(x;y) đạt giá trị lớn nhất tại \(C\left( 4;1 \right)\).

Vậy phương án sản xuất 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II sẽ cho lãi cao nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC kể cả các cạnh AB, BC, CA (phần tô màu trong hình vẽ), trong đó \(A\left( 2;-2 \right),\,B\left( 5;-2 \right)\) và \(C\left( 2;4 \right)\).

Dễ thấy \(\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }ABC\) vuông tại A.

Do đó ta có: \(S={{S}_{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.3.6=9\).

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có \(\widehat{CAB}={{60}^{\circ }}\); \(\widehat{ABC}={{105}^{\circ }}{{30}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}\) và \(c=70\). 

Khi đó

\(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={{180}^{\circ }}\)\(\Leftrightarrow \hat{C}={{180}^{\circ }}-\left( \hat{A}+\hat{B} \right)\)\(={{180}^{\circ }}-{{165}^{\circ }}{{30}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}={{14}^{\circ }}{{30}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}\). 

Theo định lí sin, ta có

\(\frac{b}{\text{sin}B}=\frac{c}{\text{sin}C}\) hay \(\frac{b}{\text{sin}{{105}^{\circ }}{{30}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}}=\frac{70}{\text{sin}{{14}^{\circ }}{{30}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}}\)

Do đó \(AC=b=\frac{70.\text{sin}{{105}^{\circ }}{{30}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}}{\text{sin}{{14}^{\circ }}{{30}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}}\approx 269,4\) m.

Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất.

Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc \({{30}^{\circ }}\) nên

\(CH=\frac{AC}{2}=\frac{269,4}{2}=134,7\) m.

Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m.

Phát biểu mệnh đề \(P\Rightarrow Q\): "Nếu a và b cùng chia hết cho 5 thì \(a+b\) chia hết cho 5".

Vì \(\sqrt{5}\) chỉ là một phần tử còn \(\mathbb{Q}\) là một tập hợp nên ta sử dụng kí hiệu: \(\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}\).