Câu hỏi:

Vì \(\text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha +\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =1\)\(\Rightarrow \text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha =1-\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =1-{{\left( -\frac{3}{4} \right)}^{2}}=\frac{7}{16}\).

Mà \({{0}^{\circ }}<\alpha <{{90}^{\circ }}\) nên \(\text{sin}\alpha >0\).

Do đó \(\text{sin}\alpha =\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}\).

\(\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt{7}}{3}\); \(\text{cot}\alpha =\frac{\text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }=-\frac{3\sqrt{7}}{7}\).

Gọi số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 5 000 đồng, một tờ 10 000 đồng, một tờ 20 000 đồng lần lượt là: x, y, z (học sinh).

Số học sinh ủng hộ một tờ 5 000 đồng và một tờ 10 000 đồng là: a.

Số học sinh ủng hộ một tờ 10 000 đồng và một tờ 20 000 đồng là: b.

Số học sinh ủng hộ một tờ 20 000 đồng và một tờ 5 000 đồng là: c.

với \(x,\,y,\,z,\,a,\,b,\,c\in \mathbb{N}\).

Biểu diễn trên biểu đồ Ven (như hình vẽ):

Dựa vào biểu đồ Ven và dữ kiện bài toán, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x=y+z\left( 1 \right) \\   y+b=2\left( z+b \right)\left( 2 \right) \\   x=a+c+1\left( 3 \right) \\   x+y+z+a+b+c=25\left( 4 \right)  \\ \end{array} \right.\).

Từ (2): \(y-2z=b\ge 0\) ↔︎ \(y\ge 2z\) (*)

Thế (1), (2), (3) vào (4) và khử x,a,b,c, ta được:

\(4y+z=26\Leftrightarrow y=\frac{26-z}{4}\le \frac{26}{4}\).

Từ điều kiện (*):

\(y=\frac{26-z}{4}=\frac{52-2z}{8}\ge \frac{52-y}{8}\)\(\Leftrightarrow 9y\ge 52\)\(\Leftrightarrow y\ge \frac{52}{9}\).

Do đó: \(\frac{52}{9}\le y\le \frac{26}{4}\) và \(y\in \mathbb{N}\).

Suy ra: \(y=6\); \(z=2\); \(x=8\).

Vậy có 6 học sinh lớp 2A chỉ ủng hộ một tờ 10 000 đồng.

Gọi x, y lần lượt là số bông hoa loại 15 000/bông và loại 20 000/bông mà Nga mua.

Điều kiện \(x\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\); \(y\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\).

Theo đề bài ta có bất phương trình \(15x+20y\le 200\).

Mà theo đề, x, y chia hết cho 3 nên giả sử \(x=3n;\,y=3m;\) với \(m,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\).

Suy ra ta có \(45n+60m\le 200\)\(\Leftrightarrow 9n+12m\le 40\) (1)

Vì \(m,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\) và từ (1) ta suy ra \(\left\{ \begin{align}  & 1\le n\le 4 \\  & 1\le m\le 3 \\ \end{align} \right.\).

Gọi \(\left( {{n}_{0}};{{m}_{0}} \right)\) là nghiệm của (1).

Ta có bảng giá trị các nghiệm của (1) như sau:

Dựa vào bảng trên ta nhận thấy \(\left( {{n}_{0}};{{m}_{0}} \right)=\left( 3;1 \right)\) thì số tiền mua hoa là nhiều nhất:

\(9.15\,000+3.20\,000=195\,000\) đồng.

Khi đó, số tiền dư ít nhất là 5 000 đồng.

Vẽ đường thẳng \(d:\,2x+y=2\).

Thay điểm \(O\left( 0;0 \right)\) vào bất phương trình \(2x+y\ge 2\) ta được \(0\ge 2\) nên điểm \(O\left( 0;0 \right)\) không thuộc miền nghiệm D của bất phương trình \(2x+y\ge 2\).

Khi đó miền nghiệm D của bất phương trình \(2x+y\ge 2\) là miền không chứa điểm \(O\left( 0;0 \right)\) có bờ d, kể cả đường thẳng d.

Vẽ hình vuông ABCO cạnh bằng a nằm trong góc phần tư thứ nhất trên cùng hệ trục tọa độ với miền nghiệm D.

Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích phần chung giữa miền nghiệm D và hình vuông là:

\(S={{S}_{ABCO}}-{{S}_{OEF}}=O{{A}^{2}}-\frac{1}{2}.OE.OF={{a}^{2}}-\frac{1}{2}.1.2 ={{a}^{2}}-1\).

Mà \(S=2\,022\) nên \({{a}^{2}}-1=2\,022\)\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}=2\,023\)\(\Rightarrow a=\sqrt{2023}\).

Gọi số sản phẩm loại I cần sản xuất là x; số sản phẩm loại II cần sản xuất là y. Điều kiện: \(x,\,y\ge 0\).

Số máy nhóm A cần sử dụng là: \(2x+2y\).

Số máy nhóm B cần sử dụng là: \(2y\).

Số máy nhóm C cần sử dụng là: \(2x+4y\).

Ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x\ge 0 \\  y\ge 0 \\  2x+2y\le 10 \\  2y\le 4 \\  x+2y\le 6 \\ \end{array}  \right.\) \(\Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x\ge 0 \\  0\le y\le 2 \\  x+y\le 5 \\  x+2y\le 6 \\ \end{array} \right.\).

Vẽ các đường thẳng \(\left( {{d}_{1}} \right):y=2,\,\left( {{d}_{2}} \right):\,x+y=5,\,\left( {{d}_{3}} \right):x+2y=6\).

Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần tô màu như hình vẽ:

\(\left( {{d}_{1}} \right)\cap Oy=A\left( 0;2 \right)\); \(\left( {{d}_{1}} \right)\cap \left( {{d}_{3}} \right)=B\left( 2;2 \right)\); \(\left( {{d}_{2}} \right)\cap \left( {{d}_{3}} \right)=C\left( 4;1 \right)\)

\(\left( {{d}_{2}} \right)\cap Ox=D\left( 5;0 \right)\), \(E\equiv O=\left( 0;0 \right)\).

Lãi suất thu được là: \(f\left( x;y \right)=3x+5y\) (nghìn đồng).

Do đó f(x;y) đạt giá trị lớn nhất tại \(C\left( 4;1 \right)\).

Vậy phương án sản xuất 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II sẽ cho lãi cao nhất.