Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)\), \(B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)\) sao cho tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) và diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất. Khi đó \({a^3} + {b^3}\) bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)\), \(B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)\) sao cho tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) và diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất. Khi đó \({a^3} + {b^3}\) bằng bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
Suy ra $(-1-a)^2 + (2-b)(-2-b) + 3 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + (b-2)(b+2) + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + 1 + b^2 - 4 + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + b^2 = 1$.
Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $I(-1;0)$, bán kính $R=1$.
Diện tích tam giác $MAB$ là $S = \frac{1}{2}MA \cdot MB = \frac{1}{2}MA \cdot \sqrt{AB^2 - MA^2}$ (do $MA^2 + MB^2 = AB^2$).
$AB = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Để diện tích $MAB$ nhỏ nhất thì $MA$ phải nhỏ nhất. Mà $MA = \sqrt{(a+1)^2 + (b-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{(b-2)^2 + 10}$.
Để $MA$ nhỏ nhất thì $(b-2)^2$ phải nhỏ nhất, tức $b=2$. Khi đó $(a+1)^2 + 2^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = -3$ (vô lý).
Ta có $(a+1)^2 = 1 - b^2$, nên $MA = \sqrt{1-b^2 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{1-b^2 + b^2 - 4b + 4 + 9} = \sqrt{14 - 4b}$.
$MA$ nhỏ nhất khi $b$ lớn nhất. Mà $(a+1)^2 + b^2 = 1$ nên $-1 \le b \le 1$. Vậy $b=1$.
$(a+1)^2 + 1^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = 0 \Leftrightarrow a=-1$.
Vậy $a^3 + b^3 = (-1)^3 + 1^3 = -1+1 = 0$.
Câu hỏi liên quan
Read the following passage and mark the letter A, B, C, or D on your answer sheet to indicate the best answer to each of the following questions from 31 to 40.
Working on Your Workout
(I) Although appreciating a balanced diet and regular exercise, most people do not know how to exercise properly. Consequently, they usually rush through their workouts, or they make the same common workout mistakes. (II) Exercising the right way is important for people who are worried about their health and their appearance. (III) However, if someone is not working out properly, they will not see the results they want. Therefore, training experts have devised tips to teach people how to exercise correctly in order to achieve the greatest health benefits. (VI)
One of the most common workout mistakes is doing the same routine over and over again. This does not challenge your muscles, and it can actually prevent muscles from growing and repairing themselves. Instead of always sticking to the same old workout, it is important to change your routine every six to eight weeks. It is also important to add a variety of workouts to your routine, such as swimming, yoga, or biking, to make sure your whole body stays fit. This will help make your workouts more interesting, and benefit your health and muscle development as well.
Another mistake people tend to make is to work out too hard, too often. Your body needs to rest between workouts; otherwise, no progress will be made. It is best to keep the number of hard workout routines to no more than two per week. Then, for those who don’t want to get off schedule by skipping a day, shorter workouts of about twenty minutes can be used on other days. For more variety in workouts, you could also plan an easier routine for forty to sixty minutes between days of shorter, more intense workouts. Experts recommend, however, taking at least one day off completely each week, especially after several hard workout days in a row.
In reality, no one is perfect. However, if you want to make a difference in your overall health, there are some things you can do. Stretch before and after every workout. Do not rush your routine, and do not work out too little or too much. Remember not to make these common workout mistakes, and always have fun while exercising!
Which of the following best summarizes the main point of the passage?
Đọc thông tin sau và trả lời câu hỏi:
Thông tin: Vào những ngày Tết, các gian hàng phục vụ mặt hàng Tết đa dạng, phong phú như: bánh kẹo, giò chả, bánh chưng, hoa quả, rau củ, hàng đông lạnh,... ; có khu vực bày bán đủ các loại cây như: đào, mai, cúc, lan,... nhằm đáp ứng nhu cầu mua sắm và chưng Tết. Người dân đi chợ không chỉ để mua sắm mà còn để tận hưởng không khí háo hức khi Tết đến.
Các yếu tố nào tham gia vào hoạt động kinh tế trên?
Bệnh nhân bị hở van nhĩ thất sẽ dễ bị suy tim, nguyên nhân chính là do
Hai điện tích điểm có độ lớn không đổi được đặt trong cùng một môi trường có hằng số điện môi là ε, nếu tăng khoảng cách giữa hai điện tích lên 2 lần thì lực tương tác giữa chúng sẽ
- Sóng điện từ là quá trình lan truyền của điện từ trường biến thiên trong không gian. Khi nói về quan hệ giữa điện trường và từ trường của điện từ trường trên thì kết luận nào sau đây là đúng?
Chọn câu đúng. Trong ‘‘máy bắn tốc độ’’ xe cộ trên đường:
Trên ô tô con, vành được chế tạo như thế nào?
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha - \sin \alpha }}\)?
Read the following advertisement and mark the letter A, B, C, or D to indicate the option that best fits each of the numbered blanks from 1 to 6.
JOIN THE INTERNATIONAL CULTURAL FESTIVAL!
Are you looking (1) ______ a fun and exciting event? Come to the International Cultural Festival this weekend! This amazing event brings together cultures from around the world, offering you the chance to enjoy (2) ______ different traditions, foods, and music. This is a great chance to make new friends and (3) ______ traditions from various countries. A special part of the festival is the art exhibition, where (4) ______ works from local and international artists will be displayed. Don’t miss the opportunity to experience (5) ______ variety of cultural activities all in one place. Everyone is welcome to join the celebration, and there’s something for all ages to enjoy. The festival (6) ______ at the city park from 10 AM to 5 PM on Saturday. See you there!
The festival (6) ______ at the city park from 10 AM to 5 PM on Saturday. See you there!
Nội dung nào sau đây phản ánh đúng vai trò của các ngành khoa học xã hội và nhân văn đối với Sử học?
Bản kế hoạch thu chi giúp quản lý tiền bạc của cá nhân bao gồm các quyết định về hoạt động tài chính như thu nhập, chi tiêu tiết kiệm, đầu tư, để thực hiện những mục tiêu tài chính của cá nhân được gọi là:
Cách mạng dân chủ nhân dân được hoàn thành ở các nước Đông Âu đã đánh dấu
Loài sinh vật nào dưới đây trao đổi chất và chuyển hóa năng lượng theo kiểu hóa tự dưỡng?
Nguyên tử nguyên tố X có 8 neutron và có số khối là 16. Lớp ngoài cùng của nguyên tử X có
Một học sinh nhìn qua kính hiển vi vào một hộp nhỏ chứa không khí và khói được chiếu sáng. Phát biểu nào sau đây là đúng? Cần 6780 kJ để làm bay hơi hoàn toàn 3 kg chất lỏng, nhiệt hóa hơi riêng của chất lỏng đó là
Khi cộng hai số nhị phân 1 bit, bit tổng được tính bằng cổng logic nào?
Nguyên tử nguyên tố X có số hiệu nguyên tử là 19, số neutron có trong hạt nhân là 20. Kí hiệu nguyên tử X là
Lực đàn hồi xuất hiện khi
Chọn phương án sai? Khi một chất điểm dao động điều hòa thì
Trong tình huống dưới đây, những chủ thể nào đã vi phạm quyền tự do tín ngưỡng, tôn giáo của công dân?
"Anh A và chị B là vợ chồng, hai người chung sống cùng nhà với bố mẹ anh A là ông T và bà C. Chị B là người theo tôn giáo và thường đi cầu nguyện nhằm mong muốn có một cuộc sống bình an, tốt đẹp. Nhưng theo anh A, việc thực hành tôn giáo của chị B rất mất thời gian, không mang lại lợi ích kinh tế cho gia đình. Chị B không đồng ý vì đây là quyền tự do của công dân về tôn giáo, tín ngưỡng. Tuy nhiên, anh A vẫn phản đối và thường xuyên lên án, cấm đoán không cho chị thực hành tôn giáo của mình. Thấy vợ chồng hai con thường xuyên bất hòa, ông T và bà C tuyên bố: nếu chị B không từ bỏ việc thực hành tôn giáo thì sẽ đuổi chị B ra khỏi nhà".
