Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)\), \(B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)\) sao cho tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) và diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất. Khi đó \({a^3} + {b^3}\) bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)\), \(B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)\) sao cho tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) và diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất. Khi đó \({a^3} + {b^3}\) bằng bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
Suy ra $(-1-a)^2 + (2-b)(-2-b) + 3 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + (b-2)(b+2) + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + 1 + b^2 - 4 + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + b^2 = 1$.
Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $I(-1;0)$, bán kính $R=1$.
Diện tích tam giác $MAB$ là $S = \frac{1}{2}MA \cdot MB = \frac{1}{2}MA \cdot \sqrt{AB^2 - MA^2}$ (do $MA^2 + MB^2 = AB^2$).
$AB = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Để diện tích $MAB$ nhỏ nhất thì $MA$ phải nhỏ nhất. Mà $MA = \sqrt{(a+1)^2 + (b-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{(b-2)^2 + 10}$.
Để $MA$ nhỏ nhất thì $(b-2)^2$ phải nhỏ nhất, tức $b=2$. Khi đó $(a+1)^2 + 2^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = -3$ (vô lý).
Ta có $(a+1)^2 = 1 - b^2$, nên $MA = \sqrt{1-b^2 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{1-b^2 + b^2 - 4b + 4 + 9} = \sqrt{14 - 4b}$.
$MA$ nhỏ nhất khi $b$ lớn nhất. Mà $(a+1)^2 + b^2 = 1$ nên $-1 \le b \le 1$. Vậy $b=1$.
$(a+1)^2 + 1^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = 0 \Leftrightarrow a=-1$.
Vậy $a^3 + b^3 = (-1)^3 + 1^3 = -1+1 = 0$.
Câu hỏi liên quan
Qua quan sát, A biết thị trường đang rất thiếu mít không hạt để bán. Điều này thể hiện chức năng nào của thị trường?
- Cá mập thụ tinh trong, phôi phát triển trong buồng trứng. Phôi nở trước ăn trứng chưa nở hoặc phôi nở sau nên mỗi lứa cá mập chỉ đẻ ít con. Đây là ví vụ về
Tăng trưởng kinh tế là
Nội dung nào sau đây là đóng góp chung của các cuộc chiến tranh bảo vệ Tổ quốc ở Việt Nam từ thế kỉ X đến năm 1979?
Bệnh nào là bệnh kí sinh trùng rất nguy hiểm đối với ngành chăn nuôi gia cầm?
Phân tích một tượng gỗ cổ người ta thấy rằng độ phóng xạ \({\beta ^ - }\)của nó bằng 0,75 lần độ phóng xạ của một khúc gỗ mới chặt cùng loại và cùng khối lượng với tượng gỗ đó. Đồng vị \(^{14}{\rm{C}}\) có chu kì bán rã là 5730 năm. Tuổi của tượng gỗ là
Dãy nào sau đây không có giới hạn bằng 0?
Read the following advertisement and mark the letter A, B, C, or D to indicate the option that best fits each of the numbered blanks from 1 to 6.
JOIN THE INTERNATIONAL CULTURAL FESTIVAL!
Are you looking (1) ______ a fun and exciting event? Come to the International Cultural Festival this weekend! This amazing event brings together cultures from around the world, offering you the chance to enjoy (2) ______ different traditions, foods, and music. This is a great chance to make new friends and (3) ______ traditions from various countries. A special part of the festival is the art exhibition, where (4) ______ works from local and international artists will be displayed. Don’t miss the opportunity to experience (5) ______ variety of cultural activities all in one place. Everyone is welcome to join the celebration, and there’s something for all ages to enjoy. The festival (6) ______ at the city park from 10 AM to 5 PM on Saturday. See you there!
Don’t miss the opportunity to experience (5) ______ variety of cultural activities all in one place.Mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best arrangement of utterances or sentences to make a meaningful exchange or text in each of the following questions from 13 to 17.
a. Mark: Well, we have the client meeting on Thursday, so we should prepare the presentation first. I think we should focus on that today.
b. Mark: Hey Anne, we need to organize our tasks for this week. Do you have a minute?
c. Anne: Sure, Mark! I was just going through my to-do list. What should we prioritize?
Một trong những nội dung của các sáng tác văn học dân gian ở nước ta từ thế kỉ XVI đến XVIII là gì?
Việt Nam đang phát triển dưới mô hình kinh tế nào sau đây?
Ý nào sau đây sai khi nói về vi sinh vật?
- Pha sáng của quá trình quang hợp ở thực vật cung cấp cho pha đồng hoá CO2 gồm
Cho các ý sau đây:
(1) Có chứa hệ enzyme làm nhiệm vụ tổng hợp lipid
(2) Có cấu tạo tương tự như cấu tạo của màng tế bào
(3) Là một hệ thống ống và xoang dẹp phân nhánh thông với nhau
(4) Phân chia tế bào chất thành các xoang nhỏ (tạo ra sự xoang hóa)
(5) Có chứa hệ enzyme làm nhiệm vụ tổng hợp protein
Trong các ý trên có mấy ý là đặc điểm chung của mạng lưới nội chất trơn và mạng lưới nội chất hạt?
Sắp xếp các hydroxide H2SiO3, H3PO4, HClO4 theo chiều tính acid giảm dần là
Chọn ý đúng: Nhân tố được cho có vai trò quyết định đến sự phát triển của xã hội loài người là?
Những thông tin của thị trường có vai trò như thế nào đối với người bán?
Nhận định nào dưới đây đúng về đặc điểm dân cư của Mỹ La tinh?
Chủ thể trong nền kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa, Nhà nước có vai trò quản nền kinh tế thông qua thực hiện chức năng quản lí nhà nước về kinh tế được gọi là gì?
Cho hai tập hợp:
A= Tập các ước tự nhiên của 24;
B= Tập các ước tự nhiên của 51.
Tập hợp A∩B viết bằng cách liệt kê các phần tử là
