Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \[\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right)

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \[\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0\] bằng

A. \[\frac{{17}}{2}\].

B. \[9\].

C. \[8\].

D. \[\frac{{19}}{2}\].

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Giải phương trình $\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0$
Ta có: $2{x^2} - 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = 2\end{array} \right.$
Điều kiện để $\log_x(7x-6)$ có nghĩa là $x>0, x \ne 1, 7x-6>0 \Leftrightarrow x>\frac{6}{7}, x \ne 1$.
Vậy $x=\frac{1}{2}$ loại.
Xét ${\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow {\log }_x}\left( {7x - 6} \right) = 2 \Leftrightarrow 7x - 6 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.$
$x=1$ loại vì điều kiện $x\ne 1$.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=2$ và $x=6$. Tổng các nghiệm là $2+6=8$.
Vậy đáp án đúng là $2+6 = 8$. Đáp án C sai.
Sửa lại đề bài thành: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0$ bằng bao nhiêu?
Nghiệm của $2x^2 - 5x + 2 = 0$ là $x = \frac{1}{2}$ và $x = 2$.
Nghiệm của $\log_x(7x-6) - 2 = 0$ là $x=1$ và $x=6$.
Điều kiện: $x > 0, x \ne 1$ và $7x-6 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{6}{7}$.
Vậy $x = 1$ và $x = \frac{1}{2}$ loại.
Vậy nghiệm là $x = 2$ và $x = 6$. Tổng là $2 + 6 = 8$ (Không có trong đáp án).
Xem xét lại phương trình $\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0$.
Ta có $2x^2 - 5x + 2 = (2x-1)(x-2)$, vậy $x=2$ hoặc $x = \frac{1}{2}$.
$\{\log_x(7x-6) - 2 = 0 \Leftrightarrow \log_x(7x-6) = 2 \Leftrightarrow 7x-6 = x^2 \Leftrightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-6) = 0$, vậy $x=1$ hoặc $x=6$.
Điều kiện: $x>0, x \ne 1, 7x-6 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{6}{7}$ và $x \ne 1$.
Vậy $x=\frac{1}{2}$ và $x=1$ loại.
Vậy $x=2$ và $x=6$ là nghiệm. Tổng là $2+6=8$ (không có trong đáp án).
Kiểm tra lại đề bài, có lẽ sai sót ở đâu đó.
Nếu đề là $\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_{(7x-6)}}x - \frac{1}{2}} \right] = 0$ thì sao?
Thì $2x^2 - 5x + 2 = 0$ có nghiệm $x=2$ và $x = \frac{1}{2}$.
${\log_ {(7x-6)}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{7x-6} \Leftrightarrow x^2 = 7x-6 \Leftrightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-6) = 0$, vậy $x=1$ hoặc $x=6$.
Điều kiện: $x>0, 7x-6>0, 7x-6 \ne 1 \Leftrightarrow x > \frac{6}{7}$ và $x \ne 1$.
Vậy $x=\frac{1}{2}$ và $x=1$ loại.
Vậy nghiệm là $x=2$ và $x=6$, tổng là $2+6=8$.
Đáp án D là $\frac{19}{2} = 9.5$. Đề có lẽ bị sai.