Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình \(\log _{2}^{4} x-\log _{\frac{1}{2}}^{2}\left(\frac{x^{3}}{8}\right)+9 \log _{2}\left(\frac{32}{x^{2}}\right)<4 \log _{2^{-1}}^{2}(x)\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: x>0
\(\begin{array}{l} \log _{2}^{4} x-\log _{\frac{1}{2}}^{2}\left(\frac{x^{3}}{8}\right)+9 \log _{2}\left(\frac{32}{x^{2}}\right)<4 \log _{2^{-1}}^{2}(x) \\ \Leftrightarrow \log _{2}^{4} x-\left(3 \log _{2} x-3\right)^{2}+9\left(5-2 \log _{2} x\right)-4 \log _{2}^{2} x<0 \\ \Leftrightarrow \log _{2}^{4} x-13 \log _{2}^{2} x+36<0 \end{array}\)
Đặt \(t=\log _{2}^{2} x, t\in\mathbb{R}\)
Bất phương tình trở thành
\(t^2-13t+36<0\)
\( \Leftrightarrow 4 < t < 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2 < t < 3}\\ { - 3 < t < - 2} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2 < {{\log }_2}x < 3}\\ { - 3 < {{\log }_2}x < - 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {4 < x < 8}\\ {\frac{1}{8} < x < \frac{1}{4}} \end{array}} \right.} \right.\)
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là x=7
