Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật), hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30% cặp sinh đôi đều là gái, và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi thì được một cặp có cùng giới tính. Tính xác suất để đó là cặp sinh đôi thật (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật), hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30% cặp sinh đôi đều là gái, và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi thì được một cặp có cùng giới tính. Tính xác suất để đó là cặp sinh đôi thật (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố "cặp sinh đôi có cùng giới tính", $B$ là biến cố "cặp sinh đôi là sinh đôi thật". Ta cần tính $P(B|A)$. Ta có: * $P(A|B) = 1$ (vì sinh đôi thật luôn có cùng giới tính) * $P(B)$ là xác suất sinh đôi thật. Gọi $x$ là xác suất sinh đôi thật, thì $1-x$ là xác suất sinh đôi giả. * $P(A) = 0.34 + 0.30 = 0.64$ (xác suất cặp sinh đôi có cùng giới tính) Ta cũng có: $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B})$ Trong đó: * $P(A|\overline{B}) = 0.5$ (xác suất cặp sinh đôi giả có cùng giới tính là 0.5, vì mỗi đứa có xác suất 0.5 là trai) * $P(\overline{B}) = 1-x$ (xác suất cặp sinh đôi là sinh đôi giả) Vậy: $0.64 = 1 * x + 0.5 * (1-x)$ $0.64 = x + 0.5 - 0.5x$ $0.14 = 0.5x$ $x = 0.28$ Sử dụng công thức Bayes: $P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} = \frac{1 * 0.28}{0.64} = \frac{0.28}{0.64} = 0.4375$ Tuy nhiên, đề bài cho 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30% cặp sinh đôi đều là gái, và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Vậy xác suất sinh đôi cùng giới là $0.34 + 0.30 = 0.64$. Gọi $x$ là tỉ lệ sinh đôi thật. Khi đó $0.64 = x + (1-x) * 0.5$, suy ra $x = 0.28$. Vậy xác suất để cặp sinh đôi cùng giới là sinh đôi thật là $x / 0.64 = 0.28 / 0.64 \approx 0.4375 \approx 0.44$. Vậy đáp án gần nhất là 0.44. Tuy nhiên, không có đáp án nào gần 0.44. Để ý rằng 0.64 là xác suất để một cặp sinh đôi có cùng giới tính. Ta có thể tính xác suất để cặp sinh đôi đó là sinh đôi thật như sau: $P(\text{sinh đôi thật} | \text{cùng giới}) = \frac{P(\text{cùng giới} | \text{sinh đôi thật})P(\text{sinh đôi thật})}{P(\text{cùng giới})} = \frac{1 * x}{0.64}$. Mặt khác, $P(\text{cùng giới}) = P(\text{cùng giới} | \text{sinh đôi thật})P(\text{sinh đôi thật}) + P(\text{cùng giới} | \text{sinh đôi giả})P(\text{sinh đôi giả}) = 1 * x + 0.5 * (1-x) = 0.5 + 0.5x$. Vậy $0.64 = 0.5 + 0.5x$, suy ra $x = 0.28$. Vậy xác suất cần tìm là $0.28 / 0.64 = 0.4375 \approx 0.44$.