Để tạo một kiện hàng dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, người ta dùng các thanh gỗ ghép khít đóng lại với nhau. Biết rằng, dung tích kiện hàng bằng $9\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ và giá thành $1\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ gỗ sử dụng là $200\,000$ đồng. Hỏi sau khi hoàn thành kiện hàng đó, người ta cần bỏ ra ít nhất bao nhiêu triệu đồng? (diện tích các mép giữa hai mặt kề nhau không đáng kể).

Để tạo một kiện hàng dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, người ta dùng các thanh gỗ ghép khít đóng lại với nhau. Biết rằng, dung tích kiện hàng bằng $9\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ và giá thành $1\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ gỗ sử dụng là $200\,000$ đồng.

Hỏi sau khi hoàn thành kiện hàng đó, người ta cần bỏ ra ít nhất bao nhiêu triệu đồng? (diện tích các mép giữa hai mặt kề nhau không đáng kể).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là $x (m)$, chiều cao của lăng trụ là $h (m)$. Điều kiện: $x, h > 0$\ Khi đó chiều dài hình chữ nhật là $2x (m)$.$\$ Dung tích của lăng trụ được tính bởi công thức:\$V = 2{x^2}.h = 9 \Rightarrow h = \dfrac{9}{{2{x^2}}}$.$\$\ Dện tích toàn phần của kiện hàng là:\$ {S_{tp}} = 2{S_{\rm{\u0111}ạy}} + {S_{xq}} = 2.2{x^2} + 2x.h + 2.2x.h = 4{x^2} + 6xh$\ Thay $h = \dfrac{9}{{2{x^2}}}$ vào, ta được:\${S_{tp}} = 4{x^2} + 6x.\dfrac{9}{{2{x^2}}} = 4{x^2} + \dfrac{{27}}{x}$\ Chi phí làm kiện hàng là: $\T = {S_{tp}}.200\,000 = \left( {4{x^2} + \dfrac{{27}}{x}} \right).200\,000$ ( đồng)\ Để tốn ít chi phí nhất, tức là $\T$ phải đạt giá trị nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $4{x^2};\dfrac{{27}}{{2x}};\dfrac{{27}}{{2x}}$ ta được:\$4{x^2} + \dfrac{{27}}{{2x}} + \dfrac{{27}}{{2x}} \ge 3\sqrt[3]{{4{x^2}.\dfrac{{27}}{{2x}}.\dfrac{{27}}{{2x}}}} = 3\sqrt[3]{{{{2.27}^2}}} = 27$\$\ Khi đó\$ {S_{tp}} \ge 27$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $4{x^2} = \dfrac{{27}}{{2x}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\,(TM)$.\Khi đó chi phí để làm kiện hàng là:$\T \ge 27.200\,000 = 5\,400\,000$ đồng.\ Vậy người ta cần bỏ ra ít nhất 5,4 triệu đồng, không có đáp án đúng.
Mà bài này toán lớp 12 nên có lẽ cách làm của đằng thức không phù hợp với học sinh cấp 3, ta có thể xét hàm và tìm min như sau:
- Xét hàm $f(x) = 4x^2 + \dfrac{27}{x}$ với $x >0$.
- Ta có $f'(x) = 8x - \dfrac{27}{x^2}$.
- $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 8x = \dfrac{27}{x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\dfrac{27}{8}} = \dfrac{3}{2}$.
- Lập bảng biến thiên ta thấy hàm $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \dfrac{3}{2}$.
- Khi đó:$\T = \left( {4{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{27}}{{\dfrac{3}{2}}}} \right).200\,000 = \left( {4.\dfrac{9}{4} + 27.\dfrac{2}{3}} \right).200\,000 = (9+18).200000 = 5400000$.
Vậy người ta cần bỏ ra ít nhất 5,4 triệu đồng, không có đáp án đúng.