Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4 và bảy quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết bảy quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong bảy quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây: + Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp. + Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp. Gọi là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của bằng bao nhiêu?

Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4 và bảy quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết bảy quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong bảy quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:

+ Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp.

+ Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.

Gọi là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của bằng bao nhiêu?

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Số cách xếp 7 quyển sách vào 4 ngăn sao cho mỗi ngăn có ít nhất 1 quyển tương ứng với các trường hợp sau: (4,1,1,1), (3,2,1,1), (2,2,2,1)

Trường hợp 1: (4,1,1,1) có số cách xếp là: $C_7^4 * C_3^1 * C_2^1 * C_1^1 * 4! / 3! = 35 * 3 * 2 * 4 = 840$
Trường hợp 2: (3,2,1,1) có số cách xếp là: $C_7^3 * C_4^2 * C_2^1 * C_1^1 * 4! / 2! = 35 * 6 * 2 * 12 = 2520$
Trường hợp 3: (2,2,2,1) có số cách xếp là: $C_7^2 * C_5^2 * C_3^2 * C_1^1 * 4! / 3! = 21 * 10 * 3 * 4 = 840$

Vậy tổng số cách xếp là: $840 + 2520 + 840 = 4200$ Số cách xếp thứ tự trong mỗi ngăn:

Trường hợp 1: (4,1,1,1) có số cách xếp là: $4! = 24$
Trường hợp 2: (3,2,1,1) có số cách xếp là: $3! * 2! = 12$
Trường hợp 3: (2,2,2,1) có số cách xếp là: $2! * 2! * 2! = 8$

Số cách xếp thoả mãn là: $(4200 / (24 + 12 + 8)) = 4200/44$ không phải số nguyên. Xem lại đề bài. Tuy nhiên, nếu đề bài hỏi số cách chia số sách vào các ngăn sao cho mỗi ngăn có ít nhất 1 quyển thì ta tính như sau: Ta sử dụng Tổ hợp lặp để giải bài toán chia 7 quyển sách khác nhau vào 4 ngăn khác nhau sao cho mỗi ngăn có ít nhất 1 quyển. Gọi $x_i$ là số quyển sách ở ngăn thứ $i$, với $i = 1, 2, 3, 4$. Ta có phương trình: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7$ và $x_i \ge 1$ Đặt $y_i = x_i - 1$, suy ra $y_i \ge 0$. Thay vào phương trình, ta được: $(y_1 + 1) + (y_2 + 1) + (y_3 + 1) + (y_4 + 1) = 7$ $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 3$ Số nghiệm không âm của phương trình này là $C_{3 + 4 - 1}^{4 - 1} = C_6^3 = 20$ Với mỗi cách chia số lượng sách, ta có $7!$ cách xếp thứ tự các cuốn sách. Vậy tổng số cách xếp là $20 * 7! = 20 * 5040 = 100800$ cách. Nhưng theo đề, hai cách xếp giống nhau nếu số lượng sách ở mỗi ngăn là như nhau và thứ tự sách ở mỗi ngăn như nhau. Nên ta phải xét các trường hợp số lượng sách ở mỗi ngăn: Trường hợp (4, 1, 1, 1): Có $C_4^1 = 4$ cách chọn ngăn có 4 quyển. Số cách xếp là $C_7^4 = 35$ Số cách xếp thứ tự là 1. Trường hợp (3, 2, 1, 1): Có $C_4^1 = 4$ cách chọn ngăn có 3 quyển, $C_3^1 = 3$ cách chọn ngăn có 2 quyển. Số cách xếp là $C_7^3 * C_4^2 = 35 * 6 = 210$ Số cách xếp thứ tự là 1. Trường hợp (2, 2, 2, 1): Có $C_4^1 = 4$ cách chọn ngăn có 1 quyển. Số cách xếp là $C_7^2 * C_5^2 * C_3^2 = 21 * 10 * 3 = 630$ Số cách xếp thứ tự là 1. Vậy $N = 35 + 210 + 630 = 875$. Không có đáp án nào đúng.