Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {BD} $?

undefined.

89°;

92°;

109°;

91°.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Tam giác ACD vuông tại D: $\cos \hat{C A D} = \frac{A D}{A C}$ .

Tam giác ABC vuông tại B: $\cos \hat{C A B} = \frac{A B}{A C}$ .

Ta có $\vec{A C} . \vec{B D} = \vec{A C} . (\vec{A D} - \vec{A B}) = \vec{A C} . \vec{A D} - \vec{A C} . \vec{A B}$ .

$= A C . A D . \cos \hat{C A D} - A C . A B . \cos \hat{C A B}$

$= A C . A D . \frac{A D}{A C} - A C . A B . \frac{A B}{A C}$

= AD² – AB² = 1 – 2 = –1.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = $\sqrt{2}$ và AC = BD.

Tam giác ACD vuông tại D: AC² = AD² + CD² (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow A C^{2} = 1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = 3$

$\Rightarrow A C = \sqrt{3}$ .

Do đó BD = AC = $\sqrt{3}$ .

Lại có: $\vec{A C} . \vec{B D} = A C . B D . \cos (\vec{A C}, \vec{B D})$

$\Leftrightarrow - 1 = \sqrt{3} . \sqrt{3} . \cos (\vec{A C}, \vec{B D})$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{A C}, \vec{B D}) = \frac{- 1}{3}$ .

$\Rightarrow (\vec{A C}, \vec{B D}) \approx 109 ° 28^{'}$ .

Đáp án đúng là: C

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \)?