Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC là một tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)?

$\frac{a \sqrt{3}}{2}$

$a \sqrt{3}$

$\frac{a \sqrt{15}}{5}$

$\frac{a \sqrt{3}}{4}$

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó $S H ⊥ B C .$

Vì $(S B C) ⊥ (A B C)$ nên $S H ⊥ (A B C) .$

Kẻ $S K ⊥ A C$ .

Vì $S H ⊥ A C$ nên $A C ⊥ (S H K) \Rightarrow (S A C) ⊥ (S H K) .$

Kẻ $H I ⊥ S K (I \in S K) \Rightarrow H I ⊥ (S A C) .$

Ta có: $\frac{H C}{B C} = \frac{d (H; (S A C))}{d (B; (S A C))} = \frac{1}{2} \Rightarrow d (B, (S A C)) = 2 d (H, (S A C)) = 2 H I .$

Ta có: $H K = H C \sin \hat{C} = \frac{a}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Tam giác SBC đều cạnh a $\Rightarrow S H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Xét tam giác SHK vuông tại H có đường cao HI ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{H I^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{\frac{3 a^{2}}{4}} + \frac{1}{\frac{3 a^{2}}{16}} = \frac{20}{3 a^{2}} \Rightarrow H I = \frac{a \sqrt{15}}{10} \\ \Rightarrow d (B, (S A C)) = \frac{a \sqrt{15}}{5} . \end{array}$

Chọn đáp án C.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Bộ Đề Kiểm Tra Học Kì I - Toán 12 - Trường THPT Hùng Vương - Đề Số 1

Bộ Đề Kiểm Tra Học Kì I - Toán 12 - Trường THPT Hùng Vương giúp các em học sinh kiểm tra toàn bộ kiến thức đã học trong học kỳ. Từ đó, các em sẽ rèn luyện các kỹ năng giải bài, tư duy logic để đạt kết quả tốt và chuẩn bị cho kỳ thi cuối năm.

11/12/2023

0 lượt thi

0 / 40

Bắt đầu thi