Trong không gian OxyzOxyzOxyz, cho đường thẳng d:x−1=y+11=z−22d:\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{2}d:−1x=1y+1=2z−2. Mặt phẳng (P)(P )(P) vuông góc với đường thẳng ddd. Sin của góc giữa trục OyOyOy và mặt phẳng (P)(P )(P) là

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{2}$ . Mặt phẳng $(P )$ vuông góc với đường thẳng $d$ . Sin của góc giữa trục $Oy$ và mặt phẳng $(P )$ là

\dfrac{1}{2}

\dfrac{\sqrt{3}}{3}

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\dfrac{\sqrt{6}}{6}

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương là $\vec{u} = (-1, 1, 2)$. Vì mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $d$ nên $\vec{u}$ là vector pháp tuyến của $(P)$.
Trục $Oy$ có vector chỉ phương là $\vec{j} = (0, 1, 0)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa trục $Oy$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có:
$\sin(\alpha) = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{j}|}{|\vec{u}| |\vec{j}|} = \dfrac{|(-1)(0) + (1)(1) + (2)(0)|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \dfrac{|1|}{\sqrt{6} \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$
Vậy sin của góc giữa trục $Oy$ và mặt phẳng $(P)$ là $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$. Sai rồi, để em xem lại.
Vector pháp tuyến của (P) là $\vec{n} = (-1, 1, 2)$.
Vector chỉ phương của Oy là $\vec{j} = (0,1,0)$.
$\sin \alpha = \frac{|\vec{n}.\vec{j}|}{|\vec{n}||\vec{j}|} = \frac{|(-1).0 + 1.1 + 2.0|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}.\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$
Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là: $sin(d,(P)) = \frac{|Au_1 + B u_2 + C u_3|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}}$
Gọi $\varphi$ là góc giữa vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ và vector chỉ phương của trục $Oy$.
$\sin\alpha = cos\varphi = \frac{|0*(-1) + 1*1 + 0*2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{1}{1.\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$. Đáp án này vẫn sai.
Ôi em nhầm, phải là:
$\cos \varphi = \frac{|\vec{n}.\vec{j}|}{|\vec{n}||\vec{j}|} = \frac{|(-1).0 + 1.1 + 2.0|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}.\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
$\sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2\varphi} = \sqrt{1 - \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$
Để em xem lại lần nữa:
Vì $(P)$ vuông góc với $d$ nên $(P)$ có VTPT là $\vec{n} = (-1, 1, 2)$.
Oy có VTCP là $\vec{u} = (0, 1, 0)$.
$sin(Oy,(P)) = \frac{|\vec{n}.\vec{u}|}{|\vec{n}| . |\vec{u}|} = \frac{|-1.0 + 1.1 + 2.0|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}.\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.
Vậy đáp án là $\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{2}$ . Mặt phẳng $(P )$ vuông góc với đường thẳng $d$ . Sin của góc giữa trục $Oy$ và mặt phẳng $(P )$ là

Bí quyết giải Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Dạng 10: Góc trong không gian

Câu hỏi liên quan

Trong không gian OxyzOxyzOxyz, cho đường thẳng d:x−1=y+11=z−22d:\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{2}d:−1x​=1y+1​=2z−2​. Mặt phẳng (P)(P )(P) vuông góc với đường thẳng ddd. Sin của góc giữa trục OyOyOy và mặt phẳng (P)(P )(P) là

Bí quyết giải Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Dạng 10: Góc trong không gian

Câu hỏi liên quan

BỘ TÀI LIỆU CAO CẤP

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{2}$ . Mặt phẳng $(P )$ vuông góc với đường thẳng $d$ . Sin của góc giữa trục $Oy$ và mặt phẳng $(P )$ là