Câu hỏi:

Gọi $R$ là bán kính Trái Đất, $h$ là độ cao tối đa hệ thống theo dõi được.
Ta có $R = 6400$ km, $h = 6600$ km.
Khi đó phạm vi theo dõi của hệ thống là một khối cầu tạm $O$ bán kính $R+h = 6400 + 6600 = 13000$ km = 13 (đơn vị).
ở đây $A(8, -1, -2)$ và $B(6, 1, 0)$.

Đáp án 1: Sai vì VTCP là $(1, -1, -1)$
Đáp án 2: Sai vì để xác định đúng sai cần tính giao điểm của đt với mặt cầu.
Đáp án 3: Sai vì để xác định đúng sai cần tính giao điểm của đt với mặt cầu.
Đáp án 4: Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là $3$ phút thì thời gian nó di chuyển từ $A$ đến $B$ là $6$ phút. Cũng cần dựa vào giao điểm.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = BC^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Do đó, $AM = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}$.
Vì $BC // B'C'$ nên khoảng cách giữa $BC$ và $A'B'$ bằng khoảng cách giữa $BC$ và mặt phẳng $(A'B'C')$.
Vì $BC // B'C'$ nên $BC // (A'B'C')$. Do đó khoảng cách giữa $BC$ và $(A'B'C')$ bằng khoảng cách giữa $BC$ và $B'C'$.
Ta có $BC \perp AM$ và $BC \perp AA'$. Do đó $BC \perp (AA'M)$.
Trong mặt phẳng $(AA'M)$, kẻ $AH \perp A'M$ tại $H$.
Khi đó $AH$ là đoạn vuông góc chung của $BC$ và $A'B'$.
Vậy $d(BC, A'B') = AH$.
Ta có $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{5^2} + \frac{1}{(5/2)^2} = \frac{1}{25} + \frac{4}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$
Suy ra $AH = \sqrt{5} \approx 2.2$.
Vì $AM = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2}$. Xét tam giác $AA'M$ vuông tại $A$, ta có $A'M = \sqrt{AA'^2 + AM^2} = \sqrt{5^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{25 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$.
Diện tích tam giác $AA'M$ là $\frac{1}{2}AA'.AM = \frac{1}{2}.5.\frac{5}{2} = \frac{25}{4}$.
Mặt khác, diện tích tam giác $AA'M$ là $\frac{1}{2}AH.A'M = \frac{1}{2}AH.\frac{5\sqrt{5}}{2}$.
Suy ra $\frac{25}{4} = \frac{1}{2}AH.\frac{5\sqrt{5}}{2}$.
Do đó $AH = \frac{25}{4} : \frac{5\sqrt{5}}{4} = \frac{25}{5\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \approx 2.2$.
Tuy nhiên, các đáp án đều lớn hơn. Có lẽ hình lăng trụ không phải là lăng trụ đều.
Ta có $d(BC, A'B') = d(BC, (A'B'C')) = d(A, (A'B'C'))$.
Ta có $V_{A.A'B'C'} = \frac{1}{3} d(A, (A'B'C')) S_{A'B'C'}$. Mà $V_{A.A'B'C'} = \frac{1}{3} AA' S_{ABC}$.
Suy ra $d(A, (A'B'C')) S_{A'B'C'} = AA' S_{ABC}$. Do đó $d(A, (A'B'C')) = AA' \frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = AA' = 5$.
Do đó $d(BC, A'B') = 4.0$ (làm tròn).

Để tổng số thử thách là nhỏ nhất, ta cần chọn đường đi sao cho các cạnh được đi qua có giá trị nhỏ.

• Xét trường hợp xuất phát từ trụ A:
  Đường đi có thể là A$\rightarrow$B$\rightarrow$C$\rightarrow$D$\rightarrow$A. Tổng số thử thách là $3 + 2 + 4 + 7 = 16$.
  Đường đi có thể là A$\rightarrow$D$\rightarrow$C$\rightarrow$B$\rightarrow$A. Tổng số thử thách là $7 + 4 + 2 + 3 = 16$.
  


• Xét trường hợp xuất phát từ trụ B:
  Đường đi có thể là B$\rightarrow$A$\rightarrow$D$\rightarrow$C$\rightarrow$B. Tổng số thử thách là $3 + 7 + 4 + 2 = 16$.
  Đường đi có thể là B$\rightarrow$C$\rightarrow$D$\rightarrow$A$\rightarrow$B. Tổng số thử thách là $2 + 4 + 7 + 3 = 16$.


• Xét trường hợp xuất phát từ trụ C:
  Đường đi có thể là C$\rightarrow$B$\rightarrow$A$\rightarrow$D$\rightarrow$C. Tổng số thử thách là $2 + 3 + 7 + 4 = 16$.
  Đường đi có thể là C$\rightarrow$D$\rightarrow$A$\rightarrow$B$\rightarrow$C. Tổng số thử thách là $4 + 7 + 3 + 2 = 16$.


• Xét trường hợp xuất phát từ trụ D:
  Đường đi có thể là D$\rightarrow$A$\rightarrow$B$\rightarrow$C$\rightarrow$D. Tổng số thử thách là $7 + 3 + 2 + 4 = 16$.
  Đường đi có thể là D$\rightarrow$C$\rightarrow$B$\rightarrow$A$\rightarrow$D. Tổng số thử thách là $4 + 2 + 3 + 7 = 16$.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của tổng số thử thách là 16.

Đề bài cho biết vị trí điểm $M$ thỏa mãn $MA, MB, MC, MD$ nhưng không cho giá trị cụ thể của các khoảng cách này. Vì vậy không thể xác định vị trí điểm $M$ cũng như khoảng cách từ $M$ đến $D$. Do đó, câu trả lời là thiếu thông tin.

Gọi hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, với $O$ là tâm của hình chữ nhật.


Khi đó parabol có phương trình $y = ax^2 + c$.


Vì đỉnh parabol là $(30, -20)$ và đi qua điểm $(0, 20)$ nên ta có hệ phương trình:


$\begin{cases}
-20 = a(30)^2 + c \\
20 = a(0)^2 + c
\end{cases}$


$\Leftrightarrow \begin{cases}
-20 = 900a + c \\
c = 20
\end{cases}$


$\Leftrightarrow \begin{cases}
a = \dfrac{-40}{900} = \dfrac{-2}{45} \\
c = 20
\end{cases}$


Vậy parabol có phương trình: $y = \dfrac{-2}{45}x^2 + 20$.


Diện tích phần trồng hoa là: $2 \cdot \int_{-30}^{30} (\dfrac{-2}{45}x^2 + 20) dx = 2 \cdot 2 \cdot \int_{0}^{30} (\dfrac{-2}{45}x^2 + 20) dx = 4 \cdot (\dfrac{-2}{45} \cdot \dfrac{x^3}{3} + 20x) \Big|_0^{30} = 4 \cdot (\dfrac{-2}{45} \cdot \dfrac{30^3}{3} + 20 \cdot 30) = 4 \cdot (-400 + 600) = 4 \cdot 200 = 800 \text{ m}^2$.


Diện tích hình chữ nhật là: $60 \cdot 80 = 4800 \text{ m}^2$.


Vậy diện tích sân chơi là: $4800 - 800 \cdot 2 = 4800 - 1600 = 3200 \text{ m}^2$.