Câu hỏi:

\(\frac{V_{\text {CMNP }}}{V_{\text {CMBD }}}=\frac{C N}{C B} \cdot \frac{C P}{C D}=\frac{1}{4}(*), \frac{V_{\text {CMBD }}}{V_{\text {CSBD }}}=\frac{V_{\text {M.CBD }}}{V_{\text {S.CBD }}}=\frac{B M}{B S}=\frac{1}{2}(* *)\)

Lấy (*).(**) ta được: \(\frac{V_{\text {CMNP }}}{V_{\text {S.BCD }}}=\frac{1}{8} \Rightarrow V_{\text {CMNP }}=\frac{1}{8} V_{\text {S.BCD }}\)

Gọi \(H\) là trung điểm \(A D \Rightarrow S H \perp A D\) và \((S A D) \perp(A B C D)\) nên \(S H \perp(A B C D)\)

\(V_{S . B C D}=\frac{1}{3} S H . S_{\triangle B C D}=\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} \Rightarrow V_{C M N P}=\frac{a^{3} \sqrt{3}}{96}\)

Vẽ \(M E \| S A \Rightarrow M E \perp(A B C D)\), do đó \(D M \perp B N \Leftrightarrow D E \perp B N\). Đặt \(A N=x A D\)

Ta có : \(\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A E}=-\overrightarrow{A D}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}\)

\(\overrightarrow{B N}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A N}=-\overrightarrow{A B}+x \overrightarrow{A D}\)

Vì \(B N \perp D E \Rightarrow(3 \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B})(\overrightarrow{A B}-x \overrightarrow{A D})=0\)

\(\Leftrightarrow-3 x A D^{2}-A B^{2}+(3+x) \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=0\)

Vì tam giác \(A B D\) đều nên: \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=A B \cdot A D \cdot \cos B A D=a \cdot a \cdot \cos 60^{\circ}=\frac{a^{2}}{2}\)

\(\Rightarrow-3 a x^{2}-a^{2}+\frac{a^{2}(3+x)}{2}=0 \Leftrightarrow x=\frac{2}{5} \Rightarrow A N=\frac{2}{5} A D\)

Xét hàm số \(y=f\left(x^{2}-3 x+m\right)\) có

\(y^{\prime}=(2 x-3) \cdot f^{\prime}\left(x^{2}-3 x+m\right)\)

\(y^{\prime}=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 x-3=0\\ f^{\prime}\left(x^{2}-3 x+m\right)=0\end{array}\right.\)

Để hàm số \(y=f\left(x^{2}-3 x+m\right)\) có nhiều cực trị nhất thì phương trình \(f^{\prime}\left(x^{2}-3 x+m\right)=0\) có nhiều nghiệm bội lẻ khác \(\frac{3}{2}\) nhất.

Xét phương trình: \(f^{\prime}\left(x^{2}-3 x+m\right)=0 \Leftrightarrow\left(x^{2}-3 x+m+3\right)\left(x^{2}-3 x+m-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x^{2}-3 x=-m-3 \\ x^{2}-3 x=4-m\end{array}\right.\)

Xét hàm số : \(h(x)=x^{2}-3 x\)

\(h^{\prime}(x)=2 x-3, h^{\prime}=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}\)

Bảng biến thiên hàm số \(h(x)=x^{2}-3 x\)

Để \(f^{\prime}\left(x^{2}-3 x+m\right)=0 \Leftrightarrow\left(x^{2}-3 x+m+3\right)\left(x^{2}-3 x+m-4\right)=0\) có nhiều nghiệm bội lẻ nhất \(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x^{2}-3 x=-m-3 \\ x^{2}-3 x=4-m\end{array}\right.\) có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.

Số nghiệm của hai phương trình này là số giao điểm của đồ thị hàm số \(h(x)=x^{2}-3 x\) và các đường thẳng \(y=-m-3\) và \(y=4-m\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(h(x)=x^{2}-3 x \Rightarrow\left[\begin{array}{c}-m-3>\frac{-9}{4} \\ 4-m>\frac{-9}{4}\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}m<\frac{-3}{4} \\ m<\frac{25}{4}\end{array}\right.\right.\)

Mà \(m \in[-10 ; 5]\), kết hợp các điều kiện \(\Rightarrow m \in\left(\frac{-3}{4} ; 5\right], m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\}\)

Vậy tổng các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 15

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^{3}=3 m x-m^{2} \Leftrightarrow x^{3}-3 m x+m^{2}=0 (1)\)

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Xét hàm số: \(f(x)=x^{3}-3 m x+m^{2}\) có đồ thị \((C)\). Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số \((C)\) phải có 2 cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

Ta có : \(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3 m, f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x^{2}=m\)

Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận nằm về 2 phía so với trục hoành thì

\(\begin{align}x^{2}=m \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{m} \\ x=\sqrt{m} \Rightarrow y=-2 m \sqrt{m}+m^{2} \\ x=-\sqrt{m} \Rightarrow y=2 m \sqrt{m}+m^{2}\end{align}\)

Kết hợp các điều kiện ta được : \(m \in(4 ; 10]\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10\}\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f(x) \Rightarrow f[f(x)]=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}f(x)=a & (-2<a<-1) \\ f(x)=b & (0<b<1) \\ f(x)=c & (1<c<2)\end{array}\right.\)

Vẽ các đường thẳng \(y=a, y=b, y=c\) và đồ thị hàm số \(y=f(x)\)

Dựa vào tương giao giữa các đồ thị mỗi phương trình trên đều có 3 nghiệm.

Vậy có tất cả 9 nghiệm.