Câu hỏi:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^{3}=3 m x-m^{2} \Leftrightarrow x^{3}-3 m x+m^{2}=0 (1)\)

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Xét hàm số: \(f(x)=x^{3}-3 m x+m^{2}\) có đồ thị \((C)\). Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số \((C)\) phải có 2 cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

Ta có : \(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3 m, f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x^{2}=m\)

Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận nằm về 2 phía so với trục hoành thì

\(\begin{align}x^{2}=m \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{m} \\ x=\sqrt{m} \Rightarrow y=-2 m \sqrt{m}+m^{2} \\ x=-\sqrt{m} \Rightarrow y=2 m \sqrt{m}+m^{2}\end{align}\)

Kết hợp các điều kiện ta được : \(m \in(4 ; 10]\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10\}\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f(x) \Rightarrow f[f(x)]=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}f(x)=a & (-2<a<-1) \\ f(x)=b & (0<b<1) \\ f(x)=c & (1<c<2)\end{array}\right.\)

Vẽ các đường thẳng \(y=a, y=b, y=c\) và đồ thị hàm số \(y=f(x)\)

Dựa vào tương giao giữa các đồ thị mỗi phương trình trên đều có 3 nghiệm.

Vậy có tất cả 9 nghiệm.

Ta có: \(y=\frac{x^{2}+m}{x^{2}-3 x+2}=\frac{x^{2}+m}{(x-1)(x-2)}\)

Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}1^{2}+m=0 \\ 2^{2}+m=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-1 \\ m=-4\end{array}\right.\right.\)

Xét hình hộp chữ nhật \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\), đáy \(A B C D\) có \(A B=a, A D=2 a\), cạnh bên \(\mathrm{AA}^{\prime}=b\)

Diện tích một đáy: \(S_{A B C D}=2 a^{2}\)

Tổng diện tích bốn mặt bên : \(S_{x q}=2 a \cdot b+2 \cdot 2 a \cdot b=6 a b\)

Thể tích \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}: V=2 a^{2} b=2000 \Rightarrow a b=\frac{1000}{a}\)

Chi phí thấp nhất \(\Leftrightarrow\) diện tích toàn phần nhỏ nhất

Diện tích toàn phần của hình hộp là: \(S_{t p}=4 a^{2}+6 a b=4 a^{2}+\frac{6000}{a}\)

Ta có: \(4 a^{2}+\frac{6000}{a}=4 a^{2}+\frac{3000}{a}+\frac{3000}{a} \geq 3 \sqrt[3]{4 a^{2} \cdot \frac{3000}{a} \cdot \frac{3000}{a}}=3 \sqrt[3]{36000000}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow 4 a^{2}=\frac{3000}{a} \Leftrightarrow a=5 \sqrt[3]{6}\)

Giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần là : \(S_{\min }=100 \sqrt[3]{36}+\frac{6000}{5 \sqrt[3]{6}}\)

\(\Rightarrow\) Chi phí nhỏ nhất là \(\left(100 \sqrt[3]{36}+\frac{6000}{5 \sqrt[3]{6}}\right) \cdot 500000 \approx 495.289 .087\) đồng

Ta có :

\(\cos ^{2} 2 x+2(\sin x+\cos x)^{3}-3 \sin 2 x+m=1-\sin ^{2} 2 x+2(\sin x+\cos x)^{3}-3 \sin 2 x+m\)

Đặt \(t=\sin \mathrm{x}+\cos x, t \in[-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]\)

\(\Rightarrow t^{2}=(\sin \mathrm{x}+\cos x)^{2} \Leftrightarrow t^{2}=\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2} x=1+\sin 2 x\)

\(\Rightarrow \sin 2 x=t^{2}-1\)

Khi đó ta được: \(1-\left(t^{2}-1\right)^{2}+2 t^{3}-3\left(t^{2}-1\right)+m=1-\left(t^{2}-1\right)\left(t^{2}+2\right)+2 t^{3}+m\)

Xét \(h(t)=1+2 t^{3}-\left(t^{2}-1\right)\left(t^{2}+2\right)=-t^{4}+2 t^{3}-t^{2}+3\)

Ta có \(f^{2}(x) \leq 36, \forall x \Leftrightarrow|h(t)+m| \leq 6 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}h(t)+m \leq 6 \\ h(t)+m \geq-6\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}h(t) \leq 6-m \\ h(t) \geq-6-m\end{array}\right.\right.\)

Xét hàm số \(h(t)=-t^{4}+2 t^{3}-t^{2}+3\) trên đoạn \([-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]\)

\(h^{\prime}(t)=-4 t^{3}+6 t^{2}-2 t \Rightarrow h^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=0 \\ t=1 \\ t=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)

Ta có bảng biến thiên :

Khi đó

\(\left\{\begin{array}{l}h(t) \leq 6-m \\ h(t) \geq-6-m\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Max}_{t \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]} h(t) \leq 6-m \\ \operatorname{Min}_{t \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]} h(t) \geq-6-m\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3 \leq 6-m \\ -3+4 \sqrt{2} \geq-6-m\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}m \leq 3 \\ m \geq-3-4 \sqrt{2}\end{array}\right.\right.\right.\right.\)

\(\Rightarrow m \in\{-8 ;-7 ;-6 ;-5 ;-4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\}\)