Câu hỏi:

Gọi $\overrightarrow{n} = (0; m; n)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: $my + nz = 0$.
Khi đó, $d_1 = \frac{|-2m + 3n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$, $d_2 = \frac{|4m + n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$, $d_3 = \frac{|2m + n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$.
Do $A, B, C$ nằm cùng phía với $(\alpha)$ nên ta có thể giả sử $-2m + 3n > 0$, $4m + n > 0$, $2m + n > 0$.
$T = \frac{-2m + 3n + 2(4m + n) + 3(2m + n)}{\sqrt{m^2 + n^2}} = \frac{12m + 8n}{\sqrt{m^2 + n^2}}$.
$T = \frac{12\frac{m}{n} + 8}{\sqrt{(\frac{m}{n})^2 + 1}}$.
Đặt $t = \frac{m}{n} > -\frac{1}{4}$, ta có $T = \frac{12t + 8}{\sqrt{t^2 + 1}}$.
$T' = \frac{12\sqrt{t^2 + 1} - (12t + 8)\frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}}{t^2 + 1} = \frac{12(t^2 + 1) - 12t^2 - 8t}{(t^2 + 1)\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{-8t + 12}{(t^2 + 1)\sqrt{t^2 + 1}}$.
$T' = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$.
Khi đó $T_{max} = \frac{12(\frac{3}{2}) + 8}{\sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 1}} = \frac{26}{\sqrt{\frac{13}{4}}} = \frac{26}{\frac{\sqrt{13}}{2}} = 4\sqrt{13}$.
Suy ra $a = 4$ và $b = 13$.
Vậy $S = 2a + 3b = 2(4) + 3(13) = 8 + 39 = 47$.