Câu hỏi:

Để kiểm tra một điểm có thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng. Nếu phương trình thỏa mãn, điểm đó thuộc mặt phẳng.

• Xét điểm $M(2;0;1)$: $2 - 2(0) + 2(1) - 3 = 2 + 2 - 3 = 1 \neq 0$. Vậy $M$ không thuộc $(\alpha)$.


• Xét điểm $Q(2;1;1)$: $2 - 2(1) + 2(1) - 3 = 2 - 2 + 2 - 3 = -1 \neq 0$. Vậy $Q$ không thuộc $(\alpha)$.


• Xét điểm $P(2;-1;1)$: $2 - 2(-1) + 2(1) - 3 = 2 + 2 + 2 - 3 = 3 \neq 0$. Vậy $P$ không thuộc $(\alpha)$.


• Xét điểm $N(1;0;1)$: $1 - 2(0) + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Vậy $N$ thuộc $(\alpha)$.

Vậy đáp án đúng là B.

Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Tọa độ điểm $M$ được tính bởi công thức:
$M(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2})$


Trong đó $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$.


Áp dụng công thức, ta có:
$M(\frac{1 + (-1)}{2}; \frac{0 + 2}{2}; \frac{2 + 0}{2})$


$M(0; 1; 1)$.

Ta có công thức tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{m}(x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{n}(x_2; y_2; z_2)$ là: $\cos(\vec{m}, \vec{n}) = \frac{\vec{m}.\vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} . \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

• $\vec{m}.\vec{n} = 1.(-1) + (-1).1 + 1.(-1) = -1 -1 -1 = -3$
• $|\vec{m}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$
• $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$

Vậy $\cos(\vec{m}, \vec{n}) = \frac{-3}{\sqrt{3}.\sqrt{3}} = \frac{-3}{3} = -1$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (2; 1; -3)$.
Đường thẳng đi qua $M(1; 2; -2)$ và vuông góc với $(P)$ nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là:
$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 2 - 3t\end{array} \right.$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (0; -3; -1)$ và $\overrightarrow{AC} = (4; -6; 0)$

Vậy $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0*4 + (-3)*(-6) + (-1)*0 = 18$

Theo đề bài: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2m$

$\Rightarrow 2m = 18 \Rightarrow m = 9$