Câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 2 = 0\].

A. $I\left( {1; - 1;2} \right),\,\,R = 2$.

B. $I\left( {1; - 1;2} \right),\,\,R = 2\sqrt 2 $.

C. $I\left( {1; - 1;2} \right),\,\,R = \sqrt 6 $.

D. $I\left( { - 1;1; - 2} \right),\,\,R = 2\sqrt 2 $.

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
Từ phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 2 = 0$, ta có:

$2a = 2 \Rightarrow a = 1$
$2b = -2 \Rightarrow b = -1$
$2c = 4 \Rightarrow c = 2$
$d = -2$

Vậy tâm $I(1; -1; 2)$ và bán kính $R = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2 - (-2)} = \sqrt{1 + 1 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Đề 1

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 12:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[M\left( {2; - 1;4} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình \[3x - 2y + z + 1 = 0\]. Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\] là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Mặt phẳng đi qua $M(2;-1;4)$ và song song với $(P): 3x - 2y + z + 1 = 0$ có cùng vector pháp tuyến với $(P)$ là $\vec{n} = (3;-2;1)$.
Do đó, phương trình mặt phẳng có dạng: $3(x - 2) - 2(y + 1) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 3x - 6 - 2y - 2 + z - 4 = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + z - 12 = 0$.

Câu 13:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục \[Oxyz\] như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA = 100\,\,{\rm{m}}$, chiều rộng $OD = 60\,\,{\rm{m}}$ và tọa độ điểm $B\left( {10;10;8} \right)$

v (ảnh 1)

a) $\overrightarrow {OD} = \left( {0;60;0} \right)$

b) $G\left( {100;\,\,0;\,\,60} \right)$

c) Phương trình mặt phẳng $\left( {OBED} \right)$ là: $4x - 5z = 0$

d) Khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $\left( {OBED} \right)$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) là $62,4\,\,{\rm{m}}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) $\overrightarrow{OD} = (0; 60; 0)$ là đúng vì D có tọa độ (0; 60; 0).
b) G(100; 0; 0) nên câu b sai.
c) Ta có $\overrightarrow{OB} = (10; 10; 8)$ và $\overrightarrow{OD} = (0; 60; 0)$.
$\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OD} } \right] = \left( { - 480; - 80;600} \right) = - 20\left( {24;4; - 30} \right)$.
Vậy (OBD) có VTPT $\overrightarrow n = \left( {24;4; - 30} \right)$ nên có pt dạng 24x + 4y - 30z + D = 0.
Vì (OBD) đi qua O(0; 0; 0) nên D = 0. Vậy (OBD): 24x + 4y - 30z = 0 hay 12x + 2y - 15z = 0. Do đó câu c sai.
d) Vì G(100; 0; 0) nên $d\left( {G;\left( {OBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {12.100 + 2.0 - 15.0} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {2^2} + {{\left( { - 15} \right)}^2}} }} = \frac{{1200}}{{\sqrt {373} }} \approx 62,1\,\,\left( m \right)$ nên d đúng.

Vậy a, d đúng; b, c sai.

Câu 14:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0$

a) Số đo góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $90^\circ $

b) Biết hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $H\left( {3; - 1;2} \right)$, $\alpha $là số đo góc giữa mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và đường thẳng $\Delta $, khi đó ${\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{14}}$

c) Đường thẳng ${d_1}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( {Oxy} \right)$. Gọi $\beta $ là góc giữa ${d_1}$ và mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]. Khi đó $\beta > 30^\circ $

d) Đường thẳng ${d_2}$ vuông góc với $\left( P \right)$ tạo với \[\left( Q \right):x + my - 3 = 0\] một góc $30^\circ $. Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ bằng $\frac{{ - 8}}{5}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần phân tích từng phương án:

Phương án a): Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (-1, 2, 3)$ và vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1, 2, -1)$. Góc $\alpha$ giữa $\Delta$ và $(P)$ được tính bởi $\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|} = \frac{|-1 + 4 - 3|}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = 0$. Vậy $\alpha = 0^\circ$, phương án này sai.

Phương án b): Cần thông tin về mặt phẳng $(\alpha)$ để xác định hình chiếu và góc. Thiếu thông tin, không thể kiểm tra.

Phương án c): Tìm giao tuyến $d_1$ của $(P)$ và $(Oxy)$. Phương trình $(Oxy)$ là $z = 0$. Vậy $d_1$ có phương trình $\begin{cases} x + 2y - z + 2025 = 0 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow x + 2y + 2025 = 0$. Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\vec{u_1} = (2, -1, 0)$. Vectơ pháp tuyến của $(Oxz)$ là $\vec{j} = (0, 1, 0)$. Góc $\beta$ giữa $d_1$ và $(Oxz)$ được tính bởi $\sin \beta = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{j}|}{|\vec{u_1}||\vec{j}|} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$. Vậy $\beta = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) \approx 26.57^\circ < 30^\circ$, phương án này sai.

Phương án d): Đường thẳng $d_2$ vuông góc với $(P)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (1, 2, -1)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n_Q} = (1, m, 0)$. Góc giữa $d_2$ và $(Q)$ là $30^\circ$. Vậy $\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \frac{|\vec{u_2} \cdot \vec{n_Q}|}{|\vec{u_2}||\vec{n_Q}|} = \frac{|1 + 2m|}{\sqrt{6}\sqrt{1+m^2}}$. Bình phương hai vế: $\frac{1}{4} = \frac{(1+2m)^2}{6(1+m^2)} \Rightarrow 6 + 6m^2 = 4(1 + 4m + 4m^2) \Rightarrow 6 + 6m^2 = 4 + 16m + 16m^2 \Rightarrow 10m^2 + 16m - 2 = 0 \Rightarrow 5m^2 + 8m - 1 = 0$. Tổng các nghiệm $m_1 + m_2 = -\frac{8}{5}$. Phương án này đúng.

Câu 15:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 36$ và điểm $A\left( { - 4; - 1;4} \right)$

a) Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$ là $\left( {2; - 3;0} \right)$

b) Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua điểm $A$

c) Điểm $B\left( {1;\,7;\,3} \right)$ nằm bên ngoài mặt cầu $\left( S \right)$

d) Mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z - 11 = 0$ tiếp xúc mặt cầu $\left( S \right)$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có mặt cầu $(S)$ có dạng ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$ có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R$.

Từ phương trình mặt cầu $(S):{(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 36$ suy ra tâm $I(-2; 3; 0)$ và bán kính $R = 6$.

Vậy phát biểu a) sai.

Câu 16:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có điểm \[A\] trùng với gốc tọa độ \[O\], các điểm \[B\left( {2;0;0} \right)\], \[C\left( {0;3;0} \right)\] và \[B'\left( {0;0;4} \right)\]

v (ảnh 1)

a) Thể tích của khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là \[V = 24\]

b) Nếu \[\overrightarrow u = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} \] thì \[\overrightarrow u = \left( {6;3; - 8} \right)\]

c) Tọa độ của điểm \[C'\] là \[C'\left( { - 2;3;4} \right)\]

d) Chiếu hình lăng trụ đã cho lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\], ta được một đa giác có diện tích bằng \[8\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,3,0), B'(0,0,4)$. Khi chiếu lăng trụ lên mặt phẳng $(Oyz)$, ta được tam giác $B'OC$ với $B'(0,0,4)$ và $C(0,3,0)$. Diện tích tam giác $B'OC$ là $\frac{1}{2} * OB' * OC = \frac{1}{2} * 4 * 3 = 6$. Vậy, đáp án d sai.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {0;b;0} \right)\], \[C\left( {0;0;c} \right)\] trong đó \[b,c\] là các số hữu tỷ dương và mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình \[y - z + 1 = 0\] Biết rằng mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] và khoảng cách từ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\frac{1}{3}\]. Tính \[b + c\]

Lời giải: