Câu hỏi:

Phương trình mặt cầu có dạng: $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$.
Tâm $I(-a, -b, -c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
Từ phương trình mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2z - 7 = 0$, ta có: $a = -1, b = 0, c = 1, d = -7$.
Vậy bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 - (-7)} = \sqrt{1 + 0 + 1 + 7} = \sqrt{9} = 3$.

Điểm $M'$ là hình chiếu của $M(1;3;-2)$ trên trục $Oz$ nên $M'(0;0;-2)$.
Suy ra $\overrightarrow{MM'} = (0-1;0-3;-2-(-2)) = (-1;-3;0)$.

Từ phương trình tham số của đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 3 + t\end{array} \right.$, ta có:

• Điểm mà đường thẳng đi qua là $M(1; 2; -3)$.
• Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow{u} = (2; -1; 1)$.

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ là: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}$.

Gọi độ dài $OA=a, OB=b, OC=c$.
Ta có $a=3, b=4, c=6$.
Độ dài dây điện ngắn nhất là đoạn $OD$ với $D$ là hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $(ABC)$.
Ta có:
$\frac{1}{OD^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2} = \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{36} = \frac{16 + 9 + 4}{144} = \frac{29}{144}$
$\Rightarrow OD^2 = \frac{144}{29} \Rightarrow OD = \sqrt{\frac{144}{29}} = \frac{12}{\sqrt{29}} = \frac{12\sqrt{29}}{29}$
Bài này có vẻ như đáp án bị sai lệch. Để kiểm tra lại, ta nhận thấy các cạnh $OA, OB, OC$ tỉ lệ $3:4:6$. Vì thế kết quả phải có dạng $k \sqrt{3^2 + 4^2 + 6^2} = k \sqrt{9+16+36} = k\sqrt{61}$ với $k$ là một số hữu tỉ nào đó.
Ta sẽ giải theo hướng khác.
Gọi $A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c)$ với $a=3, b=4, c=6$.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ hay $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 2z - 12 = 0$.
Khoảng cách từ $O(0,0,0)$ đến $(ABC)$ là
$d(O, (ABC)) = \frac{|4(0) + 3(0) + 2(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{12}{\sqrt{16+9+4}} = \frac{12}{\sqrt{29}} = \frac{12\sqrt{29}}{29}$.
Vậy không có đáp án nào đúng.

Ta có $\overrightarrow{AB} = (3-1; 1-(-2); 1-3) = (2; 3; -2)$.
Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A(1; -2; 3)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (2; 3; -2)$ nên có phương trình là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{-2}$