Câu hỏi:

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2;1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {0;4; - 1} \right)$ là

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3$.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3$.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có tâm của mặt cầu là $I(-1;2;1)$.
Mặt cầu đi qua điểm $A(0;4;-1)$, vậy bán kính $R = IA = \sqrt{(0-(-1))^2 + (4-2)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.
Phương trình mặt cầu là $(x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = R^2 = 3^2 = 9$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ Đề thi thử TN THPT môn Toán có hướng dẫn giải - Đề số 12

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 8:

Trong không gian $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{3} = 1$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Phương trình mặt phẳng có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$. Khi đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n} = \left( \frac{1}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{c} \right)$.
Trong trường hợp này, ta có $a = -2$, $b = -1$, $c = 3$. Do đó, $\overrightarrow{n} = \left( \frac{1}{-2}; \frac{1}{-1}; \frac{1}{3} \right) = \left( -\frac{1}{2}; -1; \frac{1}{3} \right)$.
Để loại bỏ phân số, ta nhân vectơ này với $-6$, ta được $\overrightarrow{n'} = -6\left( -\frac{1}{2}; -1; \frac{1}{3} \right) = \left( 3; 6; -2 \right)$.
Vậy, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\left( 3; 6; -2 \right)$. Hoặc $\left( { - 3; - 6; 2} \right)$.
Tuy nhiên, ta có thể biến đổi phương trình ban đầu như sau:
$\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow -\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow -3x - 6y + 2z = 6 \Leftrightarrow 3x + 6y - 2z = -6$.
Vậy một vector pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (3; 6; -2)$. Vectơ này cùng phương với đáp án A, $\overrightarrow n = \left( { - 3; - 6; 2} \right)$

Câu 9:

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại \[x = 1\] và \[x = 2\]. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \[x\] \[\left( {1 \le x \le 2} \right)\] cắt vật thể đó có diện tích \[S\left( x \right) = 2026x\]. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Thể tích của vật thể được tính bằng công thức: $V = \int_{a}^{b} S(x) dx$. Trong trường hợp này, $a = 1$, $b = 2$, và $S(x) = 2026x$. Do đó: $V = \int_{1}^{2} 2026x dx = 2026 \int_{1}^{2} x dx = 2026 [\frac{x^2}{2}]_{1}^{2} = 2026 (\frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2}) = 2026 (2 - \frac{1}{2}) = 2026 \cdot \frac{3}{2} = 1013 \cdot 3 = 3039$. Vậy thể tích của vật thể là 3039.

Câu 10:

Tìm tất cả nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = x - \frac{1}{x}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$

Vậy, $\int (x - \frac{1}{x}) dx = \int x dx - \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}x^2 - \ln |x| + C$.

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):6x + 8y + 10z - 1 = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z - 5}}{5}\]. Góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (6;8;10)$ và vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (3;4;5)$.
Khi đó, $\sin{\alpha} = \frac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{u}|} = \frac{|6.3+8.4+10.5|}{\sqrt{6^2+8^2+10^2}.\sqrt{3^2+4^2+5^2}} = \frac{100}{\sqrt{200}.\sqrt{50}} = \frac{100}{10\sqrt{2}.5\sqrt{2}} = \frac{100}{100} = 1$
$\Rightarrow \alpha = 90^\circ $

Câu 12:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 6$ và công bội $q = - \frac{1}{2}$. Tính ${u_5}$

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Câu 13:

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy $A$ cung cấp cho nhà máy $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p\left( x \right) = 90 - 0,01{x^2}$ (đơn vị: triệu đồng). Chi phí để nhà máy $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {200 + 27x} \right)$ (đơn vị: triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy $A$ phải đóng cho nhà nước là $10\% $ tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi nhà máy $A$ bán cho nhà máy $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm để mỗi tháng thu được lợi nhuận (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng) cao nhất?

Lời giải: