Câu hỏi:

Ta có:
$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'}$
Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương cạnh $a$ nên $AC = a\sqrt{2}$ và $CC' = a$.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $ACC'$ vuông tại $C$, ta có:
$AC' = \sqrt{AC^2 + CC'^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ta có bất phương trình: $\frac{2x-5}{3} < \frac{4-x}{5}$
$\Leftrightarrow 5(2x-5) < 3(4-x)$
$\Leftrightarrow 10x - 25 < 12 - 3x$
$\Leftrightarrow 13x < 37$
$\Leftrightarrow x < \frac{37}{13} \approx 2.85$
Vì $x$ là số nguyên, nên $x \in \{..., 0, 1, 2\}$.
Ta cần tìm số nghiệm nguyên *dương*. Các nghiệm nguyên dương là $x = 1$ và $x = 2$. Tuy nhiên, đề bài hỏi *số* nghiệm nguyên, không phải nghiệm nguyên dương. Vì vậy, ta cần xem xét các giá trị nguyên âm.
Với $x = -1$, $\frac{2(-1)-5}{3} = \frac{-7}{3} \approx -2.33$ và $\frac{4-(-1)}{5} = \frac{5}{5} = 1$. Bất phương trình thỏa mãn.
Với $x = -2$, $\frac{2(-2)-5}{3} = \frac{-9}{3} = -3$ và $\frac{4-(-2)}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$. Bất phương trình thỏa mãn.
Với $x = -3$, $\frac{2(-3)-5}{3} = \frac{-11}{3} \approx -3.67$ và $\frac{4-(-3)}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$. Bất phương trình thỏa mãn.
Vậy có 5 nghiệm nguyên là ..., -2, -1, 0, 1, 2. Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5.

Ta có tính chất $\int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx$, với $k$ là hằng số.
Do đó, $\int_{0}^{1} 2f(x) dx = 2\int_{0}^{1} f(x) dx = 2\sqrt{2}$.

Từ bảng biến thiên ta thấy:

• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ nên $y=1$ là 1 tiệm cận ngang.
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ (trùng với tiệm cận ngang bên trên).
• $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ nên $x=1$ là 1 tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng. Tổng cộng là 2.

Diện tích hình vuông có cạnh $2\sqrt{x}$ là $S(x) = (2\sqrt{x})^2 = 4x$.
Thể tích của vật thể là $V = \int_{a}^{b} S(x) dx = \int_{a}^{b} (2\sqrt{x})^2 dx = \int_{a}^{b} 4x dx$.