Câu hỏi:

Tập xác định: \(D=(-\infty ; 1) \cup(1 ;+\infty)\)

Ta có : \(y^{\prime}=\frac{2}{(1-x)^{2}}>0, \forall x \in D\)

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.

Ta có: Công thức tổng quát tìm số cực trị của hàm số \(y=|f(x)|: S=a+b\)

Trong đó: \(a\) là số điểm cực trị của hàm số \(y=f(x), b\) là số nghiệm của phương trình \(f(x)=0\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Số điểm cực trị của đồ thị \(y=f(x-2001)-2019\) bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x) \Rightarrow a=2\)

Xét phương trình \(f(x-2001)-2019=0 \Leftrightarrow f(x-2001)=2019\)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của ĐTHS \(y=f(x-2001)\) và đường thẳng \(y=2019\) (không tính điểm tiếp xúc)

Đồ thị hàm số \(y=f(x-2001)\) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(y=f(x)\) sang phải theo chiều dương của tia Ox 2001 đơn vị

Đồ thị hàm số \(y=f(x-2001)\) cắt đường thẳng \(y=2019\) tại 2 điểm trong đó có 1 điểm tiếp xúc \(\Rightarrow b=1\)

Vậy số cực trị hàm số \(y=|f(x-2001)-2019|\) là \(a+b=3\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x^{3}-3 m x^{2}+6 m x-8=0\,\,(*)\)

Phương trình (*) có 3 nghiệm lập thành \(\mathrm{CSC} \Rightarrow\) Phương trình luôn có 1 nghiệm: \(x=\frac{-b}{3 a}=m\)

Thay \(x=m\) vào phương trình \((*)\) ta được: \(m^{3}-3 m^{3}+6 m^{2}-8=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-1 \\ m=2\end{array}\right.\)

Thay lại các giá trị của \(m\) vào phương trình \((*)\) ta thấy giá trị \(m=-1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tổng thu khi bán hết \(x\) cuốn tạp chí là \(T(x)=25 x+100000\) nghìn đồng

Tổng chi phí cho \(x\) cuốn tạp chí là

\(f(x)=0,001 x^{2}-2 x+110000+6 x=0,001 x^{2}+4 x+110000 \text { nghìn đồng }\)

Số tiền lãi thu được là:

\(25 x+100000-0,001 x^{2}-4 x-110000=-0,001 x^{2}+21 x-10000 \text { nghìn đồng }\)

Đặt \(g(x)=-0,001 x^{2}+21 x-10000\)

Dễ thấy \(g(x)\) là hàm số bậc 2 , hệ số \(a=-0,001<0\) nên \(g(x)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x=\frac{21}{2 \cdot 0,001}=10500 \Rightarrow \max g(x)=100250\) nghìn đồng.

\(f(t)=\frac{200}{1+4 e^{-t}} \Rightarrow f^{\prime}(t)=200 \cdot \frac{-4 e^{-t}(-1)}{\left(1+4 e^{-t}\right)}=200 \cdot \frac{4 e^{-t}}{\left(1+4 e^{-t}\right)}\)

\(f^{\prime \prime}(t)=200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)^{2}-2\left(1+4 e^{-t}\right)\left(-4 e^{-t}\right) \cdot 4 e^{-t}}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}}\)

\(=200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)\left(1+4 e^{-t}-8 e^{-t}\right)}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}}\)

\(=200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)\left(1-4 e^{-t}\right)}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}}\)

\(f^{\prime \prime}(t)=0 \Leftrightarrow e^{-t}=\frac{1}{4} \Rightarrow t=-\ln \left(\frac{1}{4}\right)=\ln 4\)

Bảng biến thiên:

Vậy sau khi hạt nảy mầm khoảng \(\ln 4 \approx 1,38\) tháng thì cây có tốc độ tăng chiều cao lớn nhất.