Câu hỏi:

Giả thiết cho \(2^{x-2 y} \cdot(2 x+1)=4 y+2 x+4\)

\(\Leftrightarrow 2^{x} .(2 x+1)=2(2 y+x+2) 2^{2 y} \\\Leftrightarrow 2^{x} .(2 x+1)=2^{2 y+1}(2 y+x+2)\\\Leftrightarrow 2^{2 x} .(2 x+1)=2^{2 y+x+1}(2 y+x+1+1)\)

Xét hàm số \(f(t)=2^{t} .(t+1)\) trên \((0 ;+\infty)\); suy ra

\(f^{\prime}(t)=2^{t} .(t+1) \ln 2+2^{t}>0, \forall t \in(0 ;+\infty)\)

Vậy hàm số \(f(t)\) luôn đồng biến trên \((0 ;+\infty)\) nên ta có:

\(\Leftrightarrow 2^{2 x} .(2 x+1)=2^{2 y+x+1}(2 y+x+1+1) \Leftrightarrow 2 x=2 y+x+1 \Leftrightarrow x=2 y+1\)

Suy ra:

\(P=2^{x-y-2}-x-y^{2}+2037=2^{y-1}-\left(y^{2}+2 y+1\right)+2037=\frac{1}{4} \cdot 2^{y+1}-(y+1)^{2}+2037\)

Xét hàm số \(g(a)=\frac{1}{4} .2^{a}-a^{2} ; a \in[2 ; 4]\)

\(g^{\prime}(a)=\frac{2^{a} \cdot \ln 2}{4}-2 a \Rightarrow g^{\prime \prime}(a)=\frac{2^{a} \cdot \ln ^{2} 2}{4}-2<0, \forall a \in[2 ; 4]\)

\(\Rightarrow g^{\prime}(a)\) luôn nghịch biến trên \([2 ; 4]\)

\(\Rightarrow \max _{[2 ; 4]} g^{\prime}(a)=g^{\prime}(2)=\ln 2-4<0\)

\(\Rightarrow g(a)\) luôn nghịch biến trên \([2 ; 4]\)

\(\Rightarrow \min g(a)=g(4)=-12\)

Vậy \(\min P=-12+2037=2025\) khi \(y+1=4 \Rightarrow y=3 ; x=7\).

Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi:

\(S(t)=50 \Leftrightarrow 50\left|\cot \frac{\pi}{12} t\right|=50 \Leftrightarrow \cot \frac{\pi}{12} t= \pm 1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12} t= \pm \frac{\pi}{4}+k \pi\)

\(\Leftrightarrow t= \pm 3+12 k(k \in \mathbb{Z})\).

Vì \(0 \leq t \leq 12\) nên \(t=3\) hoặc \(t=9\). Tức là thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều.

Vậy trong ngày có 2 thời điểm mà độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà.

Ta có \(P(A \cup B)=1-P(\overline{A B})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\).

Khi đó: \(P(A B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)=\frac{3}{40}\).

Do sườn đồi dốc \(16 \%\), nên sườn đồi tạo với phương nằm ngang một góc \(B A D \approx 9^{\circ}\).

Từ đó ta có: \(B A C=D A C-D A B=36^{\circ}\) và \(B C A=45^{\circ}\).

Áp dụng định lý Sin cho tam giác \(A B C\), ta được: \(B C=\frac{A B}{\sin B C A} \cdot \sin B A C=26(m)\).

Ta có \((1+x)^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1} \cdot x+C_{n}^{2} \cdot x^{2}+\ldots+C_{n}^{n-1} \cdot x^{n-1}+C_{n}^{n} x^{n}\).

Số hạng thứ \(k\) và \(k+1\) theo khai triển trên là \(C_{n}^{k-1}, C_{n}^{k}\) với \(1 \leq k \leq n ; k, n \in \mathbb{N}\).

Theo giả thiết ta có:

\(\frac{C_{n}^{k-1}}{C_{n}^{k}}=\frac{7}{15} \Leftrightarrow \frac{k}{n-k+1}=\frac{7}{15} \Leftrightarrow 15 k=7(n-k+1) \Leftrightarrow 22 k=7(n+1)\).

Do \((22 ; 7)=1\) nên \(n+1\) chia hết cho 22 . Vậy \(n=22 m-1, m \in \mathbb{N}\).

Vây số nguyên dương \(n\) bé nhất thỏa mãn đề bài là 21.