Câu hỏi:

\(f^{\prime}(x)=2(x-2)(x+1)+(x-2)^{2}=2 x^{2}-2 x-4+x^{2}-4 x+4=3 x^{2}-6 x\)

\(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow y=4 \\ x=2 \Rightarrow y=0\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là \(\sqrt{(0-2)^{2}+(4-0)^{2}}=2 \sqrt{5}\).

Có thể sử dụng máy tính casio 580 vnx để tìm cực đại và cực tiểu của hàm bậc 3.

Tập xác định: \(D=[0; 2]\).

Ta có: \(y^{\prime}=\frac{1-x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}=0 \Leftrightarrow x=1\).

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên \((1; 2)\).

Khi đó: \(a=1; b=2 \Rightarrow a+2 b=1+2.2=5\).

Ta có:

\(\begin{align}& \left(x^{2}+1\right)^{n}=C_{n}^{0} x^{2 n}+C_{n}^{1} x^{2 n-2}+C_{n}^{2} x^{2 n-4}+\ldots+C_{n}^{n} \\& (x+2)^{n}=C_{n}^{0} x^{n}+2 C_{n}^{1} x^{n-1}+2^{2} C_{n}^{2} x^{n-2}+\ldots+2^{n} C_{n}^{n}\end{align}\)

Ta thấy \(n=1, n=2\) không thoả mãn điều kiện bài toán.

Với \(n \geq 3\) ta có: \(x^{3 n-3}=x^{2 n} \cdot x^{n-3}=x^{2 n-2} \cdot x^{n-1}\)

Do đó hệ số của \(x^{3 n-3}\) trong khai triển thành đa thức của \(\left(x^{2}+1\right)^{n}(x+2)^{n}\).

\(a_{3 n-3}=2^{3} \cdot C_{n}^{0} \cdot C_{n}^{3}+2 \cdot C_{n}^{1} \cdot C_{n}^{1}\).

\(\Rightarrow a_{3 n-3}=26 n \Leftrightarrow \frac{2 n\left(2 n^{2}-3 n+4\right)}{3}=26 n \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}n=0(L) \\ n=-\frac{7}{2}(L) \\ n=5(t / m)\end{array}\right.\)

Vậy \(n=5\) là giá trị cần tìm.

Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số \(a, b\) phân biệt thuộc tập hợp \(\left\{3^{k} \mid k \in \mathbb {N}, 1 \leq k \leq 10\right\}\)

Biến cố \(A\): "\(\log _{a} b\) là một số nguyên dương".

\(\Rightarrow n_{\Omega}=10.9=90\)

Giả sử \(\mathrm{a}=3^{\mathrm{k}_{1}}, \mathrm{~b}=3^{\mathrm{k}_{2}}\left(\mathrm{k}_{1} \neq \mathrm{k}_{2}\right) \Rightarrow \log _{\mathrm{a}} \mathrm{b}=\log _{3^{\mathrm{k}_{1}}}\left(3^{\mathrm{k}_{2}}\right)=\frac{\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{k}_{1}}\) là một số nguyên dương.

\(\Rightarrow n_{A}=17 \Rightarrow P(A)=\frac{n_{A}}{n_{\Omega}}=\frac{17}{90}.\)

\(\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{a x^{2}+b x}-c x\right)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(a-c^{2}\right) \cdot x^{2}+b x}{\sqrt{a x^{2}+b x}+c x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(a-c^{2}\right) \cdot x+b}{\sqrt{a+\frac{b}{x}}+c}=-2\)

Khi và chỉ khi \(\left\{\begin{array}{l}a-c^{2}=0 \\ \frac{b}{\sqrt{a}+c}=-2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=c^{2} \\ b=-2 \sqrt{a}-2 c\end{array}\right.\right.\).

Kết hợp với \(c^{2}+a=18\)

Khi đó \(2 c^{2}=18 \Leftrightarrow c^{2}=9 \rightarrow a=9\) và \(c=3\) (vì \(c \neq-\sqrt{a}\) )

Vậy \(b=-2 \sqrt{a}-2 c=-2 \sqrt{9}-2.3=-12\) nên \(a+b+5 c=9-12+5.3=12\).