Câu hỏi:

Ta có: \(d:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=1-3 t\end{array} \Rightarrow d: 3 x+y-7=0\right.\).

Để \(A, B\) nằm cùng phía đối với \(d\) thì:

\(\left(3 x_{A}+y_{A}-7\right)\left(3 x_{A}+y_{A}-7\right)>0 \Leftrightarrow-2(m-13)>0 \Leftrightarrow m-13<0 \Leftrightarrow m<13.\)

Đặt \(|x|=t(t \geq 0)\) thì phương trình \((*)\) trở thành: \(t^{2}-2 m t+9-m=0\) (1)

Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có nghiệm \(t=0\) và một nghiệm \(t>0\).

Khi \(t=0 \Rightarrow m=9\) thì \((1) \Leftrightarrow t^{2}-18 t=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}t=18>0(TM) \\ t=0\end{array}\right.\).

Vậy \(m=9\)

Để hàm số \(y=f(3 x-1)+x^{3}-3 m x\) đồng biến trên khoảng \((-2; 1)\)

\(\Leftrightarrow y^{\prime} \geq 0, \forall x \in(-2; 1)\)

\(\Leftrightarrow 3 f^{\prime}(3 x-1)+3 x^{2}-3 m \geq 0, \forall x \in(-2; 1)\)

\(\Leftrightarrow m \leq f^{\prime}(3 x-1)+x^{2}, \forall x \in(-2; 1)(*)\)

Đặt \(k(x)=f^{\prime}(3 x-1), h(x)=x^{2}\) và \(g(x)=f^{\prime}(3 x-1)+x^{2}=k(x)+h(x)\).

Ta có: \(\min _{(-2; 1)} k(x)=k(0)=-4\).

Do đó, ta có: \(\min _{(-2; 1)} f^{\prime}(3 x-1)=f^{\prime}(-1)=-4\) khi \(3 x-1=-1 \Leftrightarrow x=0\).

\(\Rightarrow \min _{(-2; 1)} k(x)=k(0)=-4\).

Do đó, \(\min _{(-2; 1)} g(x)=g(0)=k(0)+h(0)=0-4=-4\).

Từ (*) ta có \(m \leq f^{\prime}(3 x-1)+x^{2}, \forall x \in(-2; 1) \Leftrightarrow m \leq \min _{(-2; 1)} g(x) \Leftrightarrow m \leq-4\).

Mà \(m \in(-10; 10) \Rightarrow m \in\{-9; \ldots;-4\}\).

Vậy có tất cả 6 số nguyên thỏa mãn.

Ta gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng.

Khi đó:

\(u_{1} u_{2}+u_{2} u_{3}+u_{3} u_{1}=4(4+d)+(4+d)(4+2 d)+4(4+2 d)\)

\(=2 d^{2}+24 d+48=2(d+6)^{2}-24 \geq-24\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(u_{1} u_{2}+u_{2} u_{3}+u_{3} u_{1}\) là -24 đạt được khi khi \(d=-6\).

Ta có \(\left\{\begin{array}{l}u_{1} \cdot q=-6 \\ u_{1} \cdot q^{4}=48\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} \cdot q=-6 \\ q^{3}=-8\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}=3 \\ q=-2\end{array}\right.\right.\right.\).

Vậy \(S_{5}=\frac{3\left(1-(-2)^{5}\right)}{1-(-2)}=33\).