Câu hỏi:

\(f(t)=\frac{200}{1+4 e^{-t}} \Rightarrow f^{\prime}(t)=200 \cdot \frac{-4 e^{-t}(-1)}{\left(1+4 e^{-t}\right)}=200 \cdot \frac{4 e^{-t}}{\left(1+4 e^{-t}\right)}\)

\(f^{\prime \prime}(t)=200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)^{2}-2\left(1+4 e^{-t}\right)\left(-4 e^{-t}\right) \cdot 4 e^{-t}}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}}\)

\(=200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)\left(1+4 e^{-t}-8 e^{-t}\right)}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}}\)

\(=200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)\left(1-4 e^{-t}\right)}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}}\)

\(f^{\prime \prime}(t)=0 \Leftrightarrow e^{-t}=\frac{1}{4} \Rightarrow t=-\ln \left(\frac{1}{4}\right)=\ln 4\)

Bảng biến thiên:

Vậy sau khi hạt nảy mầm khoảng \(\ln 4 \approx 1,38\) tháng thì cây có tốc độ tăng chiều cao lớn nhất.

Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 97 và công bội \(\mathrm{q}=1,0091\).

Dân số của quốc gia đó năm 2030 tức \(\mathrm{n}=11\) là: \(\mathrm{u}_{11}=97 \cdot 1,0091^{10}=106,197\) triệu người.

\(\Omega=\{G G ; G T ; T G, T T\}\)

Số phần tử không gian mẫu: \(n_{\Omega}=4\)

Gọi \(A\) là biến cố: "2 người con đều là gái"

Gọi \(B\) là biến cố: "Có ít nhất một người con là gái"

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n_{A}=1\)

Số phần tử của biến cố \(B\) là \(n_{B}=3\)

\(\Rightarrow n(A \cap B)=1\)

\(P(A \mid B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{1}{3}\).

Gọi \(C\) là biến cố: "Người con đầu là con gái"

Số phần tử của \(C: n(C)=2\)

\(\Rightarrow P(A \mid C)=\frac{n(A \cap C)}{n(C)}=\frac{1}{2}\).

Giả thiết cho \(2^{x-2 y} \cdot(2 x+1)=4 y+2 x+4\)

\(\Leftrightarrow 2^{x} .(2 x+1)=2(2 y+x+2) 2^{2 y} \\\Leftrightarrow 2^{x} .(2 x+1)=2^{2 y+1}(2 y+x+2)\\\Leftrightarrow 2^{2 x} .(2 x+1)=2^{2 y+x+1}(2 y+x+1+1)\)

Xét hàm số \(f(t)=2^{t} .(t+1)\) trên \((0 ;+\infty)\); suy ra

\(f^{\prime}(t)=2^{t} .(t+1) \ln 2+2^{t}>0, \forall t \in(0 ;+\infty)\)

Vậy hàm số \(f(t)\) luôn đồng biến trên \((0 ;+\infty)\) nên ta có:

\(\Leftrightarrow 2^{2 x} .(2 x+1)=2^{2 y+x+1}(2 y+x+1+1) \Leftrightarrow 2 x=2 y+x+1 \Leftrightarrow x=2 y+1\)

Suy ra:

\(P=2^{x-y-2}-x-y^{2}+2037=2^{y-1}-\left(y^{2}+2 y+1\right)+2037=\frac{1}{4} \cdot 2^{y+1}-(y+1)^{2}+2037\)

Xét hàm số \(g(a)=\frac{1}{4} .2^{a}-a^{2} ; a \in[2 ; 4]\)

\(g^{\prime}(a)=\frac{2^{a} \cdot \ln 2}{4}-2 a \Rightarrow g^{\prime \prime}(a)=\frac{2^{a} \cdot \ln ^{2} 2}{4}-2<0, \forall a \in[2 ; 4]\)

\(\Rightarrow g^{\prime}(a)\) luôn nghịch biến trên \([2 ; 4]\)

\(\Rightarrow \max _{[2 ; 4]} g^{\prime}(a)=g^{\prime}(2)=\ln 2-4<0\)

\(\Rightarrow g(a)\) luôn nghịch biến trên \([2 ; 4]\)

\(\Rightarrow \min g(a)=g(4)=-12\)

Vậy \(\min P=-12+2037=2025\) khi \(y+1=4 \Rightarrow y=3 ; x=7\).