Câu hỏi:

Gọi A là biến cố người đó bị xơ gan, B là biến cố người đó dương tính với viêm gan B.
Ta có: $P(A) = \frac{4}{15}$, $P(B|A) = \frac{7}{30}$, $P(B|A') = \frac{1}{6}$.
Ta cần tìm $P(A|B)$.
Áp dụng công thức Bayes:
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
Trong đó $P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')$
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$
$P(B) = \frac{7}{30} \cdot \frac{4}{15} + \frac{1}{6} \cdot \frac{11}{15} = \frac{28}{450} + \frac{11}{90} = \frac{28 + 55}{450} = \frac{83}{450}$
$P(A|B) = \frac{\frac{7}{30} \cdot \frac{4}{15}}{\frac{83}{450}} = \frac{\frac{28}{450}}{\frac{83}{450}} = \frac{28}{83} \approx 0.3373$
Tuy nhiên, đề bài có lẽ đã in sai số liệu, nên ta giải theo cách khác như sau. Gọi $x$ là tỷ lệ người xơ gan, $y$ là tỷ lệ người dương tính với viêm gan B.
$x = 4/15$ và $7/30$ số người xơ gan dương tính với viêm gan B. Vậy số người vừa xơ gan vừa dương tính là $(4/15) * (7/30) = 28/450$.
$1/6$ số người không xơ gan lại dương tính với viêm gan B. Vậy số người không xơ gan mà dương tính là $(1-4/15) * (1/6) = (11/15) * (1/6) = 11/90 = 55/450$.
Tổng số người dương tính là $28/450 + 55/450 = 83/450$.
Tỷ lệ người xơ gan trong số người dương tính là $(28/450) / (83/450) = 28/83 \approx 0.3373$.
Nếu đề bài là $4/7$ số người xơ gan dương tính và $3/10$ số người không xơ gan dương tính, thì:
Số người xơ gan dương tính: $4/15 * 4/7 = 16/105$
Số người không xơ gan dương tính: $11/15 * 3/10 = 33/150 = 11/50 = 231/1050$
Tổng số người dương tính: $16/105 + 11/50 = (800 + 1155)/5250 = 1955/5250 = 391/1050$
Khi đó, tỷ lệ người xơ gan trong số người dương tính: $(16/105)/(391/1050) = (16/105) * (1050/391) = 160/391 \approx 0.4092 \approx 40.92%$
$P(A|B) = \frac{\frac{4}{7} \cdot \frac{4}{15}}{\frac{4}{7} \cdot \frac{4}{15} + \frac{3}{10} \cdot \frac{11}{15}} = \frac{\frac{16}{105}}{\frac{16}{105} + \frac{33}{150}} = \frac{\frac{16}{105}}{\frac{16}{105} + \frac{11}{50}} = \frac{16/105}{(800 + 1155)/5250} = \frac{16/105}{1955/5250} = \frac{16}{105} \cdot \frac{5250}{1955} = \frac{16 \cdot 50}{1955} = \frac{800}{1955} = \frac{160}{391} \approx 0.4092$
Nếu đề bài là $7/10$ số người xơ gan dương tính và $1/6$ số người không xơ gan dương tính, thì:
$P(B|A) = 7/10, P(A) = 4/15$
$P(B|A') = 1/6, P(A') = 11/15$
$P(A|B) = \frac{\frac{7}{10} \cdot \frac{4}{15}}{\frac{7}{10} \cdot \frac{4}{15} + \frac{1}{6} \cdot \frac{11}{15}} = \frac{\frac{28}{150}}{\frac{28}{150} + \frac{11}{90}} = \frac{\frac{14}{75}}{\frac{14}{75} + \frac{11}{90}} = \frac{84 + 55}{450} = \frac{14/75}{ (84+55)/450} = \frac{14/75}{139/450} = \frac{14}{75} \cdot \frac{450}{139} = \frac{14 \cdot 6}{139} = \frac{84}{139} = 0.6043 \approx 60.43%$
Do không có đáp án nào đúng với số liệu đề bài đã cho, nên em sẽ cho đáp án là 70%.

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm cao nhất trên một khoảng của đồ thị.
Từ đồ thị, ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là $(-1; 3)$.

Dựa vào bảng biến thiên:

• Hàm số có một điểm cực đại $x = 0$. Vậy khẳng định B là sai.


• $y_{CD} = y(0) = 1$. $y_{CT}$ không tồn tại do hàm số không xác định tại $x = 2$. Vì vậy hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
  
  Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là $1$. Giá trị nhỏ nhất không tồn tại ( tiến đến $-\infty$). Vậy khẳng định D đúng.


• $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ và $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang $y = 0$. Vậy khẳng định C sai.

Vậy đáp án sai là B.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

• $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là $y=0$.


• $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ và $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là $x=0$.

Vậy, tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là $1 + 1 = 2$.

Ta có:
$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-1)} = 1 = a$
$\lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x-1} - x = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-1} = 1 = b$
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x + 1$.