Câu hỏi:

Gọi parabol có phương trình $y = ax^2 + bx + c$.
Vì parabol đi qua $(0; \dfrac{5}{4})$ nên $c = \dfrac{5}{4}$.
Vì $I$ là trung điểm của đoạn $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$ nên tọa độ $I(\dfrac{3\sqrt{5}}{4}; 1)$.
Ta có đỉnh của parabol là $I(\dfrac{3\sqrt{5}}{4}; 1)$, suy ra $x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{3\sqrt{5}}{4}$.
Parabol đi qua điểm $A(\dfrac{3\sqrt{5}}{2}; 0)$ nên $0 = a(\dfrac{3\sqrt{5}}{2})^2 + b(\dfrac{3\sqrt{5}}{2}) + \dfrac{5}{4} = \dfrac{45}{4}a + \dfrac{3\sqrt{5}}{2}b + \dfrac{5}{4}$.
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{3\sqrt{5}}{4} \\ \dfrac{45}{4}a + \dfrac{3\sqrt{5}}{2}b + \dfrac{5}{4} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = -\dfrac{3\sqrt{5}}{2}a \\ \dfrac{45}{4}a - \dfrac{27}{4}a + \dfrac{5}{4} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = -\dfrac{1}{9} \\ b = \dfrac{\sqrt{5}}{6} \end{cases}$.
Vậy $y = -\dfrac{1}{9}x^2 + \dfrac{\sqrt{5}}{6}x + \dfrac{5}{4}$.
Diện tích thiết diện tam giác vuông là $S(x) = \dfrac{1}{2}y^2 = \dfrac{1}{2}(-\dfrac{1}{9}x^2 + \dfrac{\sqrt{5}}{6}x + \dfrac{5}{4})^2$.
Thể tích khối bê tông là $V = \int_{-\dfrac{3\sqrt{5}}{4}}^{\dfrac{3\sqrt{5}}{4}} S(x) dx = 2\int_{0}^{\dfrac{3\sqrt{5}}{4}} S(x) dx = 2\int_{0}^{\dfrac{3\sqrt{5}}{4}} \dfrac{1}{2}(-\dfrac{1}{9}x^2 + \dfrac{\sqrt{5}}{6}x + \dfrac{5}{4})^2 dx \approx 2.3$ (m$^3$).

Gọi cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là $x$ (mét) và chiều cao là $h$ (mét).
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là $2x^2 + 4xh = 18.9$.

Thể tích của hình hộp chữ nhật là $x^2h = 5.4$.

Ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}
2x^2 + 4xh = 18.9 \\
x^2h = 5.4
\end{cases}$

$\Rightarrow 2x^2 + 4 \cdot 5.4 = 18.9 \Rightarrow 2x^2 = 18.9 - 21.6 = -2.7$ (Vô lý vì diện tích không âm)

Có lẽ đề bài có chút nhầm lẫn về dấu phẩy và dấu chấm, ta sửa đề $5,4\rightarrow 5.4$ và $18,9\rightarrow 18.9$ và giải lại như sau:

$\begin{cases}
2x^2 + 4xh = 18.9 \\
x^2h = 5.4
\end{cases}$

$\Rightarrow 2x^2 + 4 \cdot 5.4 = 18.9 \Rightarrow 2x^2 = 18.9 - 21.6 \Rightarrow 2x^2 = 18.9 - 21.6 = -2.7$ (Vô lý vì diện tích không âm)

Ta có $h = \frac{5.4}{x^2}$. Thay vào phương trình đầu, ta được:

$2x^2 + 4x(\frac{5.4}{x^2}) = 18.9 \Rightarrow 2x^2 + \frac{21.6}{x} = 18.9 \Rightarrow 2x^3 - 18.9x + 21.6 = 0$

$\Rightarrow 20x^3 - 189x + 216 = 0$

Nhận thấy $x = 1.2$ là một nghiệm của phương trình (vì $20(1.2)^3 - 189(1.2) + 216 = 20(1.728) - 226.8 + 216 = 34.56 - 226.8 + 216 = 250.56 - 226.8 = 23.76 \neq 0$). Tuy nhiên nghiệm này không thỏa mãn $x < 2$.
Nhận thấy $x = 3/2 = 1.5$ là một nghiệm của phương trình (vì $2(1.5)^3 - 18.9(1.5) + 21.6 = 6.75 - 28.35 + 21.6 = 28.35 - 28.35 = 0$). Kiểm tra $x < 2$ thỏa mãn.
Khi đó $h = \frac{5.4}{(1.5)^2} = \frac{5.4}{2.25} = 2.4$.

Vì đơn vị trên mỗi trục là 10 cm, nên $x = 1.5 m = 15$ (đơn vị) và $h = 2.4 m = 24$ (đơn vị).

Tọa độ của điểm $I$ là $(1, 1, 24)$.

Tổng các tọa độ là $1 + 1 + 24 = 26$.

Giá của mét khoan đầu tiên là 100 nghìn đồng. Giá của các mét khoan tiếp theo tạo thành một cấp số cộng với công sai là 30 nghìn đồng. Vậy, tổng số tiền cần thanh toán để khoan giếng sâu 45m là: S = 45/2 * (2*100 + (45-1)*30) = 45/2 * (200 + 44*30) = 45/2 * (200 + 1320) = 45/2 * 1520 = 45 * 760 = 34200 nghìn đồng.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n = u_1.q^{n-1}$.
Trong đó $u_1 = 5$ và $q = 2$ nên $u_n = 5.2^{n-1}$.

Điều kiện: $4-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 4$.

Bất phương trình tương đương:

$4-x > (x+2)^2 \Leftrightarrow 4-x > x^2 + 4x + 4 \Leftrightarrow x^2 + 5x < 0 \Leftrightarrow -5 < x < 0$.

Kết hợp điều kiện $x \leq 4$, ta có $-5 < x < 0$.

Vì $x$ là số nguyên nên $x \in \{-4, -3, -2, -1\}$.

Vậy có 4 nghiệm nguyên.