Câu hỏi:

Từ phương trình \(C_{n}^{n-2}+6 n+5=A_{n+1}^{2} \rightarrow n=10\).

Với \(n=10\), khi đó \(P(x)=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{n}=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{10}\).

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\(\begin{align}& P(x)=\left(1-x-3 x^3\right)^{10}=\left[1-\left(x+3 x^3\right)\right]^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k(-1)^k\left(x+3 x^3\right)^k \\& =\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k(-1)^k x^k\left(1+3 x^2\right)^k=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k \sum_{l=0}^k C_k^l(-1)^k 3^l x^{k+2 l} .\end{align}\)

Số hạng chứa \(x^{4}\) trong khai triển tương ứng với \(\left\{\begin{array}{l}k+2 l=4 \\ 0 \leq k \leq 10 \\ 0 \leq l \leq k\end{array} \Leftrightarrow(k ; l)=\{(4 ; 0),(2 ; 1)\}\right.\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \(x^{4}\) trong khai triển là \(C_{10}^{4} C_{4}^{0}+C_{10}^{2} C_{2}^{1} 3=480\).

Ta có \(S=\frac{1}{2} C A. C B \cdot \sin \hat{C}\)

Diện tích tam giác mới là \(S^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot 2 C A \cdot 2 C B \cdot \sin \hat{C}=4\left(\frac{1}{2} \cdot C A \cdot C B \cdot \sin \hat{C}\right)=4 S\).

Đặt \(u=2 x^{3}+x-1 \Rightarrow u^{\prime}=6 x^{2}+1>0\) với \(\forall x\)

\(\Rightarrow x \in[0 ; 1] \Leftrightarrow u \in[-1 ; 2]\)

Xét \(g(x)=f(u)+m\) với \(u \in[-1 ; 2] \Rightarrow g^{\prime}(x)=u^{\prime}. f^{\prime}(u)\)

\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow u^{\prime}. f^{\prime}(u)=0 \Leftrightarrow f^{\prime}(u)=0 \Leftrightarrow u= \pm 1\)

BBT

\(\Rightarrow \min _{[0 ; 1]} g(x)=-20 \Leftrightarrow-1+m=-20 \Leftrightarrow m=-19\).

\(2 \sin x \sin 2 x=3-\sqrt{3} \sin x\)

\(\Leftrightarrow \cos x-\cos 3 x+\sqrt{3} \sin x=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right)-\frac{1}{2} \cos 3 x=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x=1 \Leftrightarrow \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1 \\ \cos 3 x=-1 \Leftrightarrow 3 x=\pi+k 2 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{3}+\frac{k 2 \pi}{3}\end{array} \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi\right.\right.\)

Vậy \(a=1, b=3 \Rightarrow a+b=4\)

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega)=C_{40}^{3}=9880\)

Gọi \(A\) là biến cố để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên các thẻ là một số chẵn.

TH1: 2 thẻ ghi số lẻ; 1 thẻ ghi số chẵn: \(C_{20}^{2} \cdot C_{20}^{1}=3800\)

TH2: 3 thẻ ghi số chẵn: \(C_{20}^{3}=1140\)

Vậy xác suất để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên các thẻ là một số chẵn là: \(\frac{3800+1140}{9880}=\frac{1}{2}\).