Câu hỏi:

Vì \(A B C D\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\)

\(\Rightarrow A B \perp A D \Rightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=0\)

Ta có: \(T=(\overrightarrow{M B}+2 \overrightarrow{M C})(\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{B D})\)

\(=[(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A B})+2(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{D C})] \cdot(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D B})\)

\(=(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{M D}+2 \overrightarrow{D C}) \cdot \overrightarrow{C B}\)

\(=\left(\frac{-1}{3} \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B}+2 \cdot \frac{2}{3} \overrightarrow{A D}+2 \cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\right) \cdot(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})\)

\(=\left(\frac{-1}{3} \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B}+\frac{4}{3} \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B}\right)[\overrightarrow{A B}-(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D C})]\)

\(=(2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}) \cdot\left(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\right)\)

\(=(2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}) \cdot\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}\right)\)

\(=A B^{2}-2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A D} \cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-A D^{2}\)

\(=A B^{2}-A D^{2}=A B^{2}-\left(\frac{1}{2} A B\right)^{2}=\frac{3}{4} A B^{2}=\frac{3}{4}(6 a)^{2}=27 a^{2}\).

Vậy \(T=27 a^{2}\).

Với \(a, b, c \geq 1 \Rightarrow(a-1)(b-1) \geq 0 \Leftrightarrow a b \geq a+b-1\)

\(\Leftrightarrow a b c \geq(a+b-1) c=a c+b c-c \geq(a+c-1)+(b+c-1)-c=a+b+c-2\)

Vì \(x, y, z \geq 0\) nên \(2^{x}, 4^{y}, 8^{z} \geq 1\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có \(2^{x} \cdot 4^{y} \cdot 8^{z} \geq 2^{x}+4^{y}+8^{z}-2=2\)

\(\Leftrightarrow 2^{z+2 y+3 x} \geq 2 \Leftrightarrow x+2 y+3 z \geq 1\)

\(\Rightarrow P=\frac{x+2 y+3 z}{6} \geq \frac{1}{6}\)

Do \(a, b\) là các số thực dương và \(\frac{1}{2} \log _{2} a=\log _{2} \frac{2}{b} \Leftrightarrow \log _{2} \sqrt{a}=\log _{2} \frac{2}{b} \Leftrightarrow a b^{2}=4\).

Đặt \(t=4 a^{3}+b^{3}=4 a^{3}+\frac{b^{3}}{2}+\frac{b^{3}}{2} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} b^{6}}=3 a b^{2}=12\).

Khi đó \(P=4 a^{3}+b^{3}-4 \log _{2}\left(4 a^{3}+b^{3}\right)=t-4 \log _{2} t=f(t)\).

Ta có \(f^{\prime}(t)=1-\frac{4}{t \ln 2}>0, \forall t \geq 12\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f(t)\) là \(f(12)=12-4 \log _{2} 12=12-4\left(2+\log _{2} 3\right)=4-4 \log _{2} 3\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=4 a^{3}+b^{3}-4 \log _{2}\left(4 a^{3}+b^{3}\right)\) là \(4-4 \log _{2} 3\).

Từ đó ta có \(x=y=4, x=3\). Tổng \(x+y+z\) bằng 11.

Đặt \(t=\sin x+\cos x(-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x=\frac{t^{2}-1}{2}\)

\(P T \Leftrightarrow \frac{t^{2}-1}{2}-m t+1=0 \Leftrightarrow t^{2}-2 m t+1=0\left(^{*}\right)\)

Để PT có nghiệm thì pt (*) phải có nghiệm trong đoạn \([-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]\)

Sử dụng mô hình tam thức

Mô hình 1. có 1 nghiệm thuộc \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\Delta^{\prime}=0 \\ -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}\Delta^{\prime}>0 \\ f(-\sqrt{2}) f(\sqrt{2}) \leq 0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}m^{2}-1=0 \\ -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}m^{2}-1>0 \\ (3+2 m \sqrt{2})(3-2 m \sqrt{2}) \leq 0\end{array}\right.\end{array}\right.\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m= \pm 1 \\\left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}m>1 \\m<-1\end{array}\right.} \\{\left[\begin{array} { l } { m \leq - \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } } \\{ m \geq \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m= \pm 1\end{array}\right.\right.} \\m \leq-\frac{3}{2 \sqrt{2}} \\m \geq \frac{3}{2 \sqrt{2}}\end{array}\right.\end{array}\right.\)

Mô hình 2. có 2 nghiệm thuộc

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime}>0 \\ a f(-\sqrt{2}) \geq 0 \\ a f(\sqrt{2}) \geq 0 \\ -\sqrt{2} \leq \frac{S}{2} \leq \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}-1>0 \\ 2+2 m \sqrt{2}+1 \geq 0 \\ 2-2 m \sqrt{2}+1 \geq 0 \\ -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m>1, m<-1 \\ m \geq-\frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ m \leq \frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow-\frac{3}{2 \sqrt{2}} \leq m<-1 ; 1<m \leq \frac{3}{2 \sqrt{2}}\right.\right.\right.\)

Vậy \(-\frac{3}{2 \sqrt{2}} \leq m \leq-1 ; 1 \leq m \leq \frac{3}{2 \sqrt{2}}\).

Điều kiện: \(x \neq 0\)

Xét \(x>0\), áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(4 x+\frac{3}{x}=\frac{5}{3} x+\frac{5}{3} x+\frac{2 x^{2}+9}{3 x} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{5}{3} x \cdot \frac{5}{3} x \cdot \frac{2 x^{2}+9}{3 x}}=\sqrt[3]{25 x\left(2 x^{2}+9\right)}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{5}{3} x=\frac{2 x^{2}+9}{3 x} \Leftrightarrow x=\sqrt{3}\)

Xét \(x<0\), áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(-4 x-\frac{3}{x}=-\frac{5}{3} x-\frac{5}{3} x-\frac{2 x^{2}+9}{3 x} \geq 3 \sqrt[3]{\left(-\frac{5}{3} x\right) \cdot\left(-\frac{5}{3} x\right) \cdot\left(-\frac{2 x^{2}+9}{3 x}\right)}=-\sqrt[3]{25 x\left(2 x^{2}+9\right)}\)

\(\Leftrightarrow 4 x+\frac{3}{x} \leq \sqrt[3]{25 x\left(2 x^{2}+9\right)}, \forall x<0\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(\left[\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \\ x<0\end{array}\right.\).