Câu hỏi:

Vì $x, y, z$ lập thành cấp số cộng nên ta có $x + z = 2y$. Mà $x + y + z = 24$ nên $3y = 24 \Rightarrow y = 8$. Suy ra $x + z = 16$ hay $z = 16 - x$.
Theo đề bài, $x+1, y+4, z+13$ lập thành cấp số nhân nên $(y+4)^2 = (x+1)(z+13)$. Thay $y = 8$ và $z = 16 - x$ vào, ta được: $(8+4)^2 = (x+1)(16-x+13) \Leftrightarrow 144 = (x+1)(29-x) \Leftrightarrow 144 = -x^2 + 28x + 29 \Leftrightarrow x^2 - 28x + 115 = 0$.
Giải phương trình bậc hai trên ta được $x = 5$ hoặc $x = 23$. Vì cấp số cộng tăng nên $x < y < z$, suy ra $x = 5$ (nếu $x = 23$ thì $z = 16 - 23 = -7 < x$, vô lý).
Với $x = 5$ thì $z = 16 - 5 = 11$. Vậy $P = x^2 + y^2 + z^2 = 5^2 + 8^2 + 11^2 = 25 + 64 + 121 = 210$.
Có vẻ như không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Để kiểm tra lại, nếu chọn đáp án gần nhất là 206, ta thấy không có cách nào có thể tìm ra đáp án này một cách hợp lý.

Gọi $n$ là số ngày để hồ đầy lá sen khi bắt đầu với 1 lá.
Gọi $m$ là số ngày để hồ đầy lá sen khi bắt đầu với 9 lá.

Ta có số lá sen tăng lên mỗi ngày theo cấp số nhân với công bội là 3.
Vậy số lá sen vào ngày thứ $k$ là $3^{k-1}$.
Khi có 1 lá sen ban đầu, hồ đầy sau 15 ngày. Vậy số lá sen tối đa hồ chứa được là $3^{15-1} = 3^{14}$.

Khi có 9 lá sen ban đầu, ta có thể coi như có $3^2$ lá sen ban đầu.
Vậy số lá sen vào ngày thứ $k$ là $9 * 3^{k-1} = 3^2 * 3^{k-1} = 3^{k+1}$.

Để hồ đầy, ta cần $3^{k+1} = 3^{14}$ hay $k+1 = 14$, suy ra $k = 13$.
Vậy nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ 13 hồ sẽ đầy lá sen.

Đáp số: 13

Một cấp số nhân có dạng $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ hoặc $u_n = a \cdot b^n$ với $a, b$ là các hằng số.

• Đáp án A: ${u_n} = 3 - {2^n}$ không phải là cấp số nhân.
• Đáp án B: ${u_n} = \frac{3}{{2\left( {n + 1} \right)}}$ không phải là cấp số nhân.
• Đáp án C: ${u_n} = 5 \cdot {2^n} = 5 \cdot 2 \cdot 2^{n-1} = 10 \cdot 2^{n-1}$ là cấp số nhân với $u_1 = 10$ và công bội $q = 2$.
• Đáp án D: ${u_n} = 4 - 5n$ là cấp số cộng.

Vậy đáp án đúng là C.

Ta có cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = -\frac{1}{3}$.
Công sai $d = u_2 - u_1 = -1 - (-\frac{1}{3}) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$. Vậy đáp án sai.
Xét đáp án D: Số hạng đầu $u_1 = -\frac{1}{3}$.
Công sai $d = u_2 - u_1 = -1 - (-\frac{1}{3}) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$. Vậy đáp án sai.
Ta có: $u_1 = -\frac{1}{3}$
$u_2 = -1 = -\frac{3}{3}$
$u_3 = -\frac{5}{3}$
$u_4 = -\frac{7}{3}$
$u_5 = -3 = -\frac{9}{3}$
Công sai $d = u_2 - u_1 = -1 - (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$. Vậy các đáp án A, B, C đều sai.
Xét đáp án D: $u_1 = -\frac{1}{3}$ và công sai $d = \frac{2}{3}$ (sai).
Ta có $d = u_2 - u_1 = -1 - (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$
Vậy số hạng đầu là $u_1 = -\frac{1}{3}$ và công sai $d = -\frac{2}{3}$

Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n-1)d$.
Theo đề bài, ta có $u_n = 81$, $u_1 = -5$, $d = 2$.
Thay vào công thức, ta được: $81 = -5 + (n-1)2$.
Giải phương trình để tìm $n$:
$81 = -5 + 2n - 2$
$81 = 2n - 7$
$88 = 2n$
$n = 44 + 1 = 44 + (88/2)$
$n=44 + 1 = 45 - 1 $
Oops,
We are looking for $n$ such that $u_n = 81$. Thus $81 = -5 + (n-1)2 => 86 = (n-1)2 => 43 = n-1 => n = 44$
Vậy số 81 là số hạng thứ 44 của cấp số cộng.