Câu hỏi:

Một cấp số nhân có dạng $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ hoặc $u_n = a \cdot b^n$ với $a, b$ là các hằng số.

• Đáp án A: ${u_n} = 3 - {2^n}$ không phải là cấp số nhân.
• Đáp án B: ${u_n} = \frac{3}{{2\left( {n + 1} \right)}}$ không phải là cấp số nhân.
• Đáp án C: ${u_n} = 5 \cdot {2^n} = 5 \cdot 2 \cdot 2^{n-1} = 10 \cdot 2^{n-1}$ là cấp số nhân với $u_1 = 10$ và công bội $q = 2$.
• Đáp án D: ${u_n} = 4 - 5n$ là cấp số cộng.

Vậy đáp án đúng là C.

Ta có cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = -\frac{1}{3}$.
Công sai $d = u_2 - u_1 = -1 - (-\frac{1}{3}) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$. Vậy đáp án sai.
Xét đáp án D: Số hạng đầu $u_1 = -\frac{1}{3}$.
Công sai $d = u_2 - u_1 = -1 - (-\frac{1}{3}) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$. Vậy đáp án sai.
Ta có: $u_1 = -\frac{1}{3}$
$u_2 = -1 = -\frac{3}{3}$
$u_3 = -\frac{5}{3}$
$u_4 = -\frac{7}{3}$
$u_5 = -3 = -\frac{9}{3}$
Công sai $d = u_2 - u_1 = -1 - (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$. Vậy các đáp án A, B, C đều sai.
Xét đáp án D: $u_1 = -\frac{1}{3}$ và công sai $d = \frac{2}{3}$ (sai).
Ta có $d = u_2 - u_1 = -1 - (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$
Vậy số hạng đầu là $u_1 = -\frac{1}{3}$ và công sai $d = -\frac{2}{3}$

Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n-1)d$.
Theo đề bài, ta có $u_n = 81$, $u_1 = -5$, $d = 2$.
Thay vào công thức, ta được: $81 = -5 + (n-1)2$.
Giải phương trình để tìm $n$:
$81 = -5 + 2n - 2$
$81 = 2n - 7$
$88 = 2n$
$n = 44 + 1 = 44 + (88/2)$
$n=44 + 1 = 45 - 1 $
Oops,
We are looking for $n$ such that $u_n = 81$. Thus $81 = -5 + (n-1)2 => 86 = (n-1)2 => 43 = n-1 => n = 44$
Vậy số 81 là số hạng thứ 44 của cấp số cộng.

Ta có cấp số nhân với số hạng đầu $u_1 = -1$ và công bội $q = 5$.
Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:
$S_n = u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = -1 \cdot \frac{1-5^n}{1-5} = - \frac{1-5^n}{-4} = \frac{1-5^n}{4}$.

Ta có công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng là:
$S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$


Trong trường hợp này, $n = 25$, $u_1 = 2$, và $d = -5$. Thay các giá trị này vào công thức, ta được:
$S_{25} = \frac{25}{2}[2(2) + (25-1)(-5)] = \frac{25}{2}[4 + 24(-5)] = \frac{25}{2}[4 - 120] = \frac{25}{2}(-116) = 25(-58) = -1450$


Vậy, tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $-1450$.