Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án lựa chọn trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu đúng được 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm. Một học sinh do không học bài nên chọn ngẫu nhiên đáp án cho mỗi câu. Xác suất để học sinh đó nhận điểm dưới 1 bằng

Câu 4:

Trong không gian \(O x y z\), cho điểm \(H(1 ; 3 ; 5)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(H\) cắt các trục tọa độ \(O x, O y, O z\) lần lượt tại \(A, B, C\) (khác \(O\) ) sao cho \(H\) là trực tâm tam giác \(A B C\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Pasted image

Do \(H\) là trực tâm \(\triangle A B C \Rightarrow A H \perp B C\).

Mặt khác: \(O A \perp(O B C)\) ( do \(O x \perp(O y z)) \Rightarrow O A \perp B C \Rightarrow B C \perp(O A H) \Rightarrow B C \perp O H\).

Chứng minh tương tự ta có: \(A B \perp O H\).

\(\Rightarrow O H \perp(A B C) \Rightarrow \overrightarrow{O H}=(1 ; 3 ; 5)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((A B C)\) đi qua \(H\).

\(\Rightarrow(A B C): 1(x-1)+3(y-3)+5(z-5)=0 \Leftrightarrow x+3 y+5 z-35=0\).

Câu 5:

Cho hình chóp \(S. A B C\) có đáy \(A B C\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(S A=S B=S C=b(a>b \sqrt{2})\). Gọi \(G\) là trọng tâm \(\triangle A B C\). Xét mặt phẳng \((P)\) đi qua \(B\) vuông góc với \(S C\) tại điểm \(I\) nằm giữa \(S\) và \(C\). Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \((P)\) là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Kẻ \(A I \perp S C \Rightarrow(A I B) \perp S C\). Thiết diện là tam giác \(A I B\)

Ta có \(A I=A C \sin A C S=a \sqrt{1-\cos ^{2} A C S}=a \sqrt{1-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-b^{2}}{2 a b}\right)}=\frac{a}{2 b} \sqrt{4 b^{2}-2 a b}\)

Gọi \(J\) là trung điểm của \(A B\). \(\triangle A I B\) cân tại \(I\) suy ra \(I J \perp A B\)

\(I J=\sqrt{A I^{2}-A J^{2}}=\frac{a}{2 b} \sqrt{3 b^{2}-2 a b} \Rightarrow S=\frac{1}{2} A B. I J=\frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2}-2 a b}}{4 b}\).

Câu 6:

Phương trình \(m \sin 3 x-m \cos 3 x=2\) vô nghiệm với những giá trị nào của \(m\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow 2 m^{2}<4 \Leftrightarrow-\sqrt{2}<m<\sqrt{2}\).

Câu 7:

Cho bất phương trình \(\log _{2}\left(5^{x}-1\right) \leq m\).

Khi \(m=2\), tập nghiệm của bất phương trình là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Điều kiện xác định: \(5^{x}-1>0 \Leftrightarrow 5^{x}>1 \Leftrightarrow x>0\)

Khi \(m=2\), bất phương trình trở thành:

\(\log _{2}\left(5^{x}-1\right) \leq 2 \Leftrightarrow \log _{2}\left(5^{x}-1\right) \leq \log _{2} 4 \Leftrightarrow 5^{x} \leq 5 \Leftrightarrow x \leq 1\).

Kết hợp với ĐKXĐ suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \((0; 1]\).

Câu 8:

Cho bất phương trình \(\log _{2}\left(5^{x}-1\right) \leq m\).

Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị nguyên của \(m\) sao cho bất phương trình có đúng 3 nghiệm nguyên. Số phần tử của \(S\) là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

\(\log _{2}\left(5^{x}-1\right) \leq m \Leftrightarrow 0<x \leq \log _{5}\left(2^{m}+1\right)\)

Để \(x\) nhận đúng 3 giá trị nguyên \((x \in\{1; 2; 3\})\) thì

\(3 \leq \log _{5}\left(2^{m}+1\right)<4 \Leftrightarrow 5^{3} \leq 2^{m}+1<5^{4} \Leftrightarrow 124 \leq 2^{m}<624\)

\(\Leftrightarrow \log _{2} 124 \leq m<\log _{2} 624\) mà \(m\) nguyên nên \(m \in\{7; 8; 9\}\)

Câu 9:

Cho cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) xác định bởi \(\left\{\begin{array}{l}u_{2}+u_{6}=18 \\ u_{3}+u_{7}=22\end{array}\right.\).

Ta có công sai của cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) là

Lời giải: