Câu hỏi:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+13$ trên đoạn $\left[ -2;3 \right]$ là

m=13

m=\dfrac{49}{4}

m=\dfrac{51}{4}

m=\dfrac{51}{2}

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Đặt $t = x^2$, với $x \in [-2; 3]$, suy ra $t \in [0; 9]$.
Khi đó, hàm số trở thành $y = t^2 - t + 13$.
Xét hàm số $y = t^2 - t + 13$ trên $[0; 9]$.
Ta có $y' = 2t - 1$. Cho $y' = 0$ suy ra $t = \dfrac{1}{2}$.
Tính giá trị:

$y(0) = 13$
$y(9) = 81 - 9 + 13 = 85$
$y(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + 13 = \dfrac{51}{4} = 12.75$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $m = \dfrac{51}{4}$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên miền xác định

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 1:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=2x+\dfrac{8}{x}$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=2x+\dfrac{8}{x}$ trên đoạn $[1;3]$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm của hàm số: $y' = 2 - \dfrac{8}{x^2}$

Giải phương trình $y' = 0$: $2 - \dfrac{8}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Kiểm tra xem nghiệm nào thuộc khoảng đang xét $[1;3]$: $x = 2$ thuộc $[1;3]$

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:

$y(1) = 2(1) + \dfrac{8}{1} = 10$

$y(2) = 2(2) + \dfrac{8}{2} = 4 + 4 = 8$

$y(3) = 2(3) + \dfrac{8}{3} = 6 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{26}{3} = 8.67$ (khoảng)

So sánh các giá trị, giá trị lớn nhất là $10$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1;3]$ là $10$.

Câu 2:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)={{x}^{4}}-6{{x}^{2}}-1$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x) = x^4 - 6x^2 - 1$ trên đoạn $[-1;3]$, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm của hàm số: $f'(x) = 4x^3 - 12x = 4x(x^2 - 3)$
2. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: $f'(x) = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm\sqrt{3}$
3. Kiểm tra các điểm tới hạn và hai đầu mút của đoạn $[-1;3]$:
- $x = -1$: $f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 - 1 = 1 - 6 - 1 = -6$
- $x = 0$: $f(0) = 0^4 - 6(0)^2 - 1 = -1$
- $x = \sqrt{3}$: $f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 6(\sqrt{3})^2 - 1 = 9 - 18 - 1 = -10$
- $x = 3$: $f(3) = (3)^4 - 6(3)^2 - 1 = 81 - 54 - 1 = 26$
4. So sánh các giá trị và tìm giá trị nhỏ nhất: Trong các giá trị -6, -1, -10, và 26, giá trị nhỏ nhất là -10.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ là -10.

Câu 3:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)=x^3-3x^2-9x+10$ trên $\left[ -2;2 \right]$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$ trên đoạn $[-2; 2]$, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm của hàm số: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$
2. Giải phương trình $f'(x) = 0$: $3x^2 - 6x - 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0$. Vậy $x = 3$ hoặc $x = -1$
3. Kiểm tra xem các nghiệm có thuộc đoạn $[-2; 2]$ không. Ta thấy $x = 3$ không thuộc đoạn $[-2; 2]$, còn $x = -1$ thuộc đoạn này.
4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn và tại các nghiệm thuộc đoạn:
* $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 10 = -8 - 12 + 18 + 10 = 8$
* $f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 - 9(2) + 10 = 8 - 12 - 18 + 10 = -12$
* $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 10 = -1 - 3 + 9 + 10 = 15$
5. So sánh các giá trị tính được, giá trị lớn nhất là $15$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$ là $15$.

Câu 4:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\dfrac{9}{x}$ trên đoạn $\left[ 2;4 \right]$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Xét hàm số $y = x + \dfrac{9}{x}$ trên đoạn $[2; 4]$.

Ta có $y' = 1 - \dfrac{9}{x^2}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Vì $x \in [2; 4]$ nên $x = 3$ là nghiệm duy nhất.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x = 2, x = 3, x = 4$:

$y(2) = 2 + \dfrac{9}{2} = \dfrac{13}{2} = 6.5$

$y(3) = 3 + \dfrac{9}{3} = 3 + 3 = 6$

$y(4) = 4 + \dfrac{9}{4} = \dfrac{25}{4} = 6.25$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ là $6$.

Câu 5:

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=x^2+\dfrac{2}{x}$ trên đoạn $\Big[ \dfrac{1}{2};2 \Big]$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 + \frac{2}{x}$ trên đoạn $[rac{1}{2}, 2]$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm của hàm số: $y' = 2x - \frac{2}{x^2}$

Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định:

$2x - \frac{2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 - 2 = 0 \Leftrightarrow x^3 = 1 \Leftrightarrow x = 1$.

$y'$ không xác định khi $x = 0$, nhưng điểm này không nằm trong đoạn đang xét.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu đoạn:

$y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} = 4.25$

$y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3$

$y(2) = 2^2 + \frac{2}{2} = 4 + 1 = 5$

So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:

Giá trị lớn nhất là $5$ (tại $x=2$) và giá trị nhỏ nhất là $3$ (tại $x=1$).

Tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là $5 + 3 = 8$.

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, có lẽ câu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị này là 5.

Câu 6:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1}$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ là

Lời giải: