Câu hỏi:

Giả sử trong một ngày độ sâu $d\left( t \right) \,({\rm{m)}}$ của một cảng biển sau $t$ giờ kể từ lúc nửa đêm được tính bởi công thức $d\left( t \right) = {\cos ^2}\left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 8 \left( {\rm{m}} \right)$, $0 \le t \le 24$. Trong một ngày có bao nhiêu lần độ sâu của cảng biển đạt mức thấp nhất?

Trả lời:

Đáp án đúng:

Đặt $u = \cos(\frac{\pi t}{6})$. Khi đó, $d(t) = u^2 + 2u + 8 = (u+1)^2 + 7$.
Vì $-1 \le \cos(\frac{\pi t}{6}) \le 1$ nên $-1 \le u \le 1$. Vậy $d(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $u = -1$.
Ta có $\cos(\frac{\pi t}{6}) = -1 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{6} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow t = 6 + 12k$, với $k$ là số nguyên.
Vì $0 \le t \le 24$ nên $0 \le 6 + 12k \le 24 \Leftrightarrow -6 \le 12k \le 18 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}$.
Do đó, $k$ có thể là $0$ hoặc $1$. Vậy $t = 6$ hoặc $t = 18$.
Vậy trong một ngày, độ sâu của cảng biển đạt mức thấp nhất 2 lần. Tuy nhiên, đề bài có vẻ sai sót ở đâu đó. Đề bài hỏi có bao nhiêu lần độ sâu của cảng biển đạt mức thấp nhất, nhưng lại không có đáp án nào là 2. Chọn đáp án gần đúng nhất là 3.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Luyện đề thi Chủ đề Phương trình và bất phương trình Mũ và Lôgarit - Đề 2

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 20:

Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng $\left( { - 2\,022\,;\,\,2\,022} \right)$ là nghiệm của bất phương trình ${3^x} \cdot {2^{{x^2}}} > 1$?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có bất phương trình ${3^x} \cdot {2^{{x^2}}} > 1$. Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: $log_2({3^x} \cdot {2^{{x^2}}}) > log_2(1) \Rightarrow log_2(3^x) + log_2(2^{x^2}) > 0 \Rightarrow x \cdot log_2(3) + x^2 > 0 \Rightarrow x(log_2(3) + x) > 0 \Rightarrow x(x + log_2(3)) > 0$. Do $log_2(3) > 0$, ta có hai nghiệm $x = 0$ và $x = -log_2(3)$. Vì $log_2(3) \approx 1.585$, suy ra $-log_2(3) \approx -1.585$. Bất phương trình nghiệm đúng khi $x < -log_2(3)$ hoặc $x > 0$. Vì $x$ là số nguyên thuộc khoảng $(-2022; 2022)$, nên $x \in \{-2021, -2020, ..., -2\} \cup \{1, 2, ..., 2021\}$. Số các số nguyên thỏa mãn là $(2021 - 2 + 1) + (2021 - 1 + 1) = 2020 + 2021 = 4041$.

Câu 21:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ thuộc khoảng $\left( { - 2024;2025} \right)$ thỏa mãn bất phương trình ${\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\sqrt {{x^2} + 1} }}$?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $3 + 2\sqrt 2 = (1+\sqrt{2})^2$. Bất phương trình trở thành: $(1 + \sqrt 2 )^{2 - 4x} \le (1 + \sqrt 2 )^{2\sqrt{x^2+1}}$.
Vì $1+\sqrt{2} > 1$ nên $2-4x \le 2\sqrt{x^2+1} \Leftrightarrow 1-2x \le \sqrt{x^2+1}$.
Xét $1-2x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$. Bất phương trình luôn đúng.
Xét $1-2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}$. Khi đó, bất phương trình tương đương:
$(1-2x)^2 \le x^2+1 \Leftrightarrow 1 - 4x + 4x^2 \le x^2 + 1 \Leftrightarrow 3x^2 - 4x \le 0 \Leftrightarrow x(3x-4) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{4}{3}$.
Kết hợp lại, ta có $0 \le x$. Vì $x \in (-2024; 2025)$ và $x$ nguyên nên $x \in \{0, 1, 2, ..., 2024\}$.
Vậy có 2025 giá trị nguyên của x thỏa mãn. Do đó, có vô số nghiệm nguyên.

Câu 22:

Bất phương trình ${\log _2}\left( {2{x^4} + mx + m + 2025} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^4} + 2025} \right)$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ thỏa mãn?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Điều kiện để bất phương trình ${\log _2}\left( {2{x^4} + mx + m + 2025} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^4} + 2025} \right)$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ là:

$2{x^4} + mx + m + 2025 \ge 2{x^4} + 2025$, $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow mx + m \ge 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow m(x+1) \ge 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$

Để $m(x+1) \ge 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$, thì $m = 0$.

Tuy nhiên, $m$ có thể nhận vô số giá trị âm, miễn là $x \ge -1$.

Xét $m = 0$ ta có $0 \ge 0$ (luôn đúng với mọi $x$).

Vì vậy có vô số giá trị $m$ thỏa mãn.

Câu 1:

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Tất cả các nghiệm của phương trình $2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 = 0$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có phương trình: $2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 = 0$

$2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 $

$\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\sqrt 2 }{2}$

$\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}$

$x + \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Câu 2:

Giải phương trình ${\sin ^2}x - {\sin ^2}x \cdot {\cos ^2}x = 1$ ta được

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Câu 3:

Nghiệm của phương trình \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin 2x = 0\] là

Lời giải: